1.1.2　函数的概念

1.函数的定义

定义3　设D，B为两个非空实数集合，若对于数集D中的任意一个数值x，按照某个对应法则f，在B中都有唯一确定的数值y与之对应，则称这个对应法则f是定义在集合D上x的函数，记为：

y=f（x），x∈D，

其中，x称为自变量，y称为函数（或因变量），自变量的取值范围D称为函数的定义域.

若对于确定的x0∈D，通过对应法则f，函数y有唯一确定的值y0与之相对应，则称y0为y=f（x）在x0处的函数值，记作

全体函数值所构成的集合C={y|y=f（x），x∈D}称为函数y=f（x）的值域.

例3　设函数f（x）=2x4+x2-3，求f（2），f（t2），.

解　f（2）=2×24+22-3=33；

f（t2）=2（t2）4+（t2）2-3=2t8+t4-3；

例4　求下列函数的定义域.

解　（1）由，解得x≠0，且x>-1，即该函数的定义域为（-1，0）∪（0，+∞）；

（2）要使有意义，则有4-x2≥0；要使lg（x-1）有意义，则有x-1>0，即，即该函数的定义域为（1，2].

（3）当时，即x∈[-4，5）时，该函数有意义，所以该函数的定义域为x∈[-4，5）.

例5　判断下列函数是否为相同函数.

（1）y=，y=x；　　（2）y=2lnx，y=lnx2.

解　（1）相同；

（2）不同，定义域不同.

例6　设，求f（x）.

解　令x+3=t，则x=t-3，代入得

所以

发现：从上述例题可以看出：

（1）确定函数的两个要素是定义域和对应法则.也就是说，在两个函数中，只有它们的定义域和对应法则完全相同，它们才表示同一个函数，与变量用什么字母表示无关.

（2）函数由解析式表示的，其定义域是使解析式有意义的一切自变量的值的集合，其原则为：分式中分母不为零；偶次根式内的函数非负；对数中真数大于零；三角函数和反三角函数等按其本身的定义要求去求即可.

还要清晰如下函数的概念：

显函数：由解析式y=f（x）直接表示出来的函数.如：y=x2.

隐函数：自变量x与因变量y的对应关系由方程F（x，y）=0来确定的函数.如：xy-ex+ey=0.

分段函数：在定义域的不同范围内，具有不同的表达式的函数.分段函数的定义域是各段定义域的并集.

例7　符号函数是个分段函数，它的定义域D=（-∞，+∞），值域W={-1，0，1}，其图像如图1-2所示.

例8　绝对值函数

定义域D=（-∞，+∞），值域W=[0，+∞），其图像如图1-3所示.

例9　设函数写出函数的定义域，求出f（2），f（0），f（-2）.

解　该函数的定义域为D=（-∞，0）∪{0}∪（0，+∞）=R.

f（2）=2-ln2，f（0）=0，f（-2）=（-2）2+1=5.

实际问题的函数定义域要根据实际意义来判断.为了了解函数概念在现实生活中的应用，下面列举两个实例.

例10　设旅客乘坐火车可以免费携带不超过20kg的物品，超过20kg而不超过50kg的部分每千克交费a元，超过50kg的部分每千克交费b元，求运费与携带物品重量的关系.

解　依题意，得.

例11（成本、利润问题）　设某企业生产的最大能力为3000件产品，已知固定成本为6000元，每生产一个产品的所耗费用为200元，试求：

（1）总成本；

（2）当生产1000件产品时总成本和平均成本各是多少？如果每件产品销售价格为500元，则总利润是多少？

解　（1）设生产的产量用N表示，则生产N件产品的总费用为

C（N）=6000+200N（元）　N∈[0，3000].

（2）当生产1000件时，总费用为

C（1000）=6000+200×1000=206000（元）.

这时的平均成本为

如果每件产品销售价格为500元，则总利润是

L（1000）=500×1000-C（1000）=294000（元）.

2.反函数

定义4　设y=f（x）为定义在数集D上的函数，值域为M.若对于数集M中的每一个y值，数集D中都有唯一确定的一个数值x使f（x）=y，这就是说变量x是变量y的函数，则称这个函数为函数y=f（x）的反函数，记为x=f-1（y）.习惯上，我们用x表示自变量，y表示函数，所以将函数y=f（x）的反函数表示为y=f-1（x）.此时，反函数的定义域为M，值域为D.

例12　求y=2x-1的反函数.

解　由y=2x-1中解出x得

写成

所以y=2x-1的反函数为 ，其定义域和值域都是R.

发现：（1）x=f-1（y）与y=f-1（x）是相同函数，都是函数y=f（x）的反函数.互为反函数的函数y=f（x）与函数y=f-1（x）的图像关于直线y=x对称.

（2）求反函数的步骤：从y=f（x）中解出x，得x=f-1（y），然后按习惯表示成y=f-1（x），则y=f-1（x）就是y=f（x）的反函数.

例13　求y=sinx的反函数.

解　正弦函数y=sinx的定义域为R，值域为[-1，1].由于它是周期函数，所以它的反对应关系是多值的.例如，当时，对应的x的值有无穷多个，如：

为了建立反对应关系是单值的函数关系，规定正弦函数y=sinx在区间上的反对应关系所确定的函数为正弦函数y=sinx的反函数，今后称为反正弦函数，表示成

y=arcsinx，

它的定义域为x∈[-1，1]，值域 .

发现：同理有

反余弦函数y=arccosx，定义域为x∈[-1，1]，值域y∈[0，π]；

反正切函数y=arctanx，定义域为x∈（-∞，+∞），值域 ；

反余切函数y=arccotx，定义域为x∈（-∞，+∞），值域y∈（0，π）.

要掌握反函数的概念，必须运用逆向思维方法.

例14　填空.

（1）arccos0=（　）；（2）arcsin（-1）=（　）；

（3）=（　）；（4）=（　）；

（5）arctan（-1）=（　）；（6）=（　）；

解　（1）；（2；

（3）；（4）；

（5）；（6）.

3.函数的基本性态

（1）函数的有界性

设函数y=f（x）在I上有定义，如果存在正数M，使得f（x）≤M对任意x∈I都成立，则称函数f（x）在I上有界，也称f（x）在I上是有界函数.如果这样的M不存在，则称函数f（x）在I上无界，即若对于任何正数M，总存在x1∈I，使f（x1）>M，则函数f（x）在I上无界.

例如，函数y=arcsinx在区间[-1，1]上有，所以函数y=arcsinx在区间[-1，1]内是有界的；而函数y=tanx在区间上是无界的.

发现：描述一个函数是有界的或无界的，一定要指出其相应的范围.例如，函数y=tanx在区间 上是有界的，在区间 上是无界的.

（2）函数的单调性

设函数y=f（x）在区间（a，b）上有定义，任取x1，x2∈（a，b），若当x1<x2时，恒有f（x1）<f（x2），则称f（x）在区间（a，b）上是单调递增的，（a，b）称为增区间；若当x1<x2时，恒有f（x1）>f（x2），则称f（x）在区间（a，b）上是单调递减的，（a，b）称为减区间.

单调递增函数和单调递减函数统称为单调函数，单调递增区间和单调递减区间称为函数的单调区间.

单调递增函数的图像是沿x轴正向上升的曲线，单调递减函数的图像是沿x轴正向下降的曲线.

发现：描述一个函数是单调递增或单调递减的，一定要指出其相应的区间.例如，y=x2在（-∞，0）是单调递减的，在（0，+∞）是单调递增的，在（-∞，+∞）不具有一致的单调性.

（3）函数的奇偶性

设函数y=f（x）的定义域D关于原点对称，若对于∀x∈D，有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数；若有f（-x）=-f（x），则称函数f（x）为奇函数.

偶函数的图像关于y轴对称，奇函数的图像关于原点对称.

（4）函数的周期性

设函数y=f（x）在D上有定义，若存在非零常数T，对于任意x∈D，且x+T∈D，有

f（x+T）=f（x）

恒成立，则称y=f（x）为周期函数.T称为f（x）的周期.

例如，正弦函数y=sinx、余弦函数y=cosx的周期都是2π，正切函数y=tanx、余切函数y=cotx的周期都是π.