1.1.1 绝对值、区间与邻域
1.绝对值
定义1 实数a的绝对值规定为
绝对值的几何意义：表示数轴上的点到原点的距离.
绝对值的性质：
（1）-|a|≤|a|≤|a|；
（2）|x|<ε⇔-ε<x<ε，|x|≤ε⇔-ε≤x≤ε（ε>0）；
（3）|x|>N⇔x>N或x<-N，|x|≥N⇔x≥N或x≤-N（N>0）.
设a，b为任意实数，则有如下运算规律：
（1）|ab|=|a|·|b|；
（2）
；
（3）|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|.
2.区间
数集{x|a<x<b}称为开区间，记作（a，b）.它在数轴上表示点a与点b之间的线段，但不包括端点a和b；
数集{x|a≤x≤b}称为闭区间，记作[a，b].它在数轴上表示点a与点b之间的线段，包括端点a和b.
还有其他类型的区间，其中半开半闭区间有：
数集{x|a<x≤b}记作（a，b]；数集{x|a≤x<b}记作[a，b）.
无穷区间有：
数集{x|x>a}或{x|x≥a}记作（a，+∞）或[a，+∞）；数集{x|x<b}或{x|x≤b}记作（-∞，b）或（-∞，b].
数集{x|x为任意实数}记作（-∞，+∞）.
3.邻域
定义2 数轴上以点a为中心，以任一正数δ为半径的任何开区间（a-δ，a+δ）称为以点a为中心以δ为半径的邻域，记作U（a，δ），即
U（a，δ）={x|a-δ<x<a+δ} 或 U（a，δ）={x|x-a<δ}.
领域的几何意义：如图1-1所示，表示与点a距离小于δ的一切点x的全体.
（a，δ）={x|0<|x-a|<δ}称为点a的去心δ邻域，即在邻域U（a，δ）中除去点a.
图 1-1
例1 将邻域U（-1，3）表示成开区间.
解 邻域U（-1，3）表示到点-1的距离小于3的一切点x的全体，即
|x-（-1）|<3，
去绝对值，得
-3<x+1<3，
即
-4<x<2，
表示成开区间为（-4，2）.
例2 将去心邻域
（2，0.05）表示成开区间.
解 去心邻域
（2，0.05）表示到点2的距离小于0.05且不包括点2的一切点x的全体，即
|x-2|<0.05，且x≠2，
去绝对值，得
-0.05<x-2<0.05，且x≠2，
即
1.95<x<2 或 2<x<2.05，
表示成区间为（1.95，2）∪（2，2.05）.