1.6.4　闭区间上连续函数的性质

1.最大值和最小值定理

定理5　若函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，则：

（1）在[a，b]上至少存在一点ξ1，使得对于任意x∈[a，b]，恒有f（ξ1）≥f（x），且f（ξ1）称为函数y=f（x）在闭区间[a，b]上的最大值.

（2）在[a，b]上至少存在一点ξ2，使得对于任意x∈[a，b]，恒有f（ξ2）≤f（x），且f（ξ2）称为函数y=f（x）在闭区间[a，b]上的最小值.

也就是说，闭区间上连续的函数在该区间上一定有最大值和最小值.

2.有界性定理

定理6　若函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，则它在闭区间[a，b]上一定有界.

定理7（介值定理）如果函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，且在这区间的端点取不同的函数值f（a）=A及f（b）=B，那么对于A与B之间的任意一个数C，在开区间（a，b）内至少存在一点ξ，使得f（ξ）=C（a<ξ<b）.

几何意义：连续曲线弧y=f（x）与水平直线y=C至少相交于一点（见图1-25）.

推论　在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值m之间的任何值，即函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，M和m分别为函数f（x）在闭区间[a，b]上的最大值和最小值，则对于满足条件m≤C≤M的任何实数C，在闭区间[a，b]内至少存在一点ξ，使得

f（ξ）=C（a≤ξ≤b）.

3.零点定理

推论　如果函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，且f（a）与f（b）异号，即f（a）·f（b）<0，那么在开区间（a，b）内至少存在一点ξ，使f（ξ）=0（见图1-26）.

例9　证明方程2x5-6x4+1=0在区间（0，1）内至少有一个根.

证明　令f（x）=2x5-6x4+1，由于此函数在闭区间[0，1]上连续，且

f（0）=2·05-6·04+1=1>0，　f（1）=2·15-6·14+1=-3<0，

则由零点存在定理得，在开区间（0，1）内至少存在一点ξ，使f（ξ）=0，即

2ξ5-6ξ4+1=0.

因此，方程2x5-6x4+1=0在区间（0，1）内至少有一个根.