2.2 黄金时代——亚历山大学派_图说数学-QQ阅读男生玄幻网

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2.2 黄金时代——亚历山大学派

从公元前338年希腊诸邦被马其顿控制，至公元前30年罗马消灭最后一个希腊化国家托勒密王国的三百余年，史称希腊数学的“黄金时代”，先后出现了欧几里得、阿基米德和阿波罗尼奥斯三大数学家，他们的成就标志了古希腊数学的巅峰。

2.2.1　欧几里得

欧几里得是希腊论证几何学的集大成者，欧几里得写过很多数学、天文、光学和音乐方面的著作，其中最重要的莫过于《几何原本》，“原本”原意是指一学科中具有广泛应用的最重要的定理，欧几里得在这本原著中用公理法对当时的数学知识做了系统化和理论化的总结。

《几何原本》是欧几里得写的一本教科书，共13卷，包括23个定义、5个公理、5个公设和465个命题。

《几何原本》总结概括了当时人们所了解的平面几何、立体几何、数论和比例等方面的知识，为后人学习和进一步研究打下了良好基础。

欧几里得通过使用定义、公理和证明，创造了公理化方法。

欧几里得在教学中还写了其他一些书，如《已知数》《图形的分割》《光学》《镜面反射》和《圆锥曲线》等，但都没有流传下来。

导图

（1）《几何原本》的分卷要点

（2）《几何原本》中的定义

（3）《几何原本》中的公理、公设

（4）《几何原本》中的定理、命题

（5）《几何原本》的特点和历史地位

人物小史与趣事

欧几里得

欧几里得（约公元前330—公元前275），大约生活在公元前300年左右，即托勒密一世时期。关于他的生平，现在知道的很少，早年他曾求学到过雅典，深知柏拉图的学说。成年之后欧几里得到了埃及的亚历山大，在那里教书和研究数学，直至终老。欧几里得以其主要著作《几何原本》著称于世，它是古希腊数学发展的顶峰。爱因斯坦曾说：“一个人当他最初接触欧几里得几何学时，如果不曾为它的明晰性和可靠性所感动，那么他是不会成为一个科学家的。”

“三个硬币”的故事

欧几里得知识渊博，在教授学生时像一个真正的父亲那样引导他们，关心他们。然而，有时他也用辛辣的讽刺来鞭挞比较傲慢的学生。有一天他的一个学生问：“学习几何，究竟会有什么好处？”欧几里得没有回答这个学生的提问，而是转身吩咐仆人说：“拿三个硬币给这位先生，因为他想在学习中获得实利。”由此，我们可以大体揣测一些欧几里得的性格和对数学的态度。欧几里得主张学习必须循序渐进、刻苦钻研，不赞成投机取巧的作风，更反对狭隘的实用观念。

“在几何学里，没有专为国王铺设的大道。”

欧几里得不仅是一位学识渊博的数学家，同时还是一位有“温和仁慈的蔼然长者”之称的教育家。在著书育人过程中，他始终没有忘记当年挂在“柏拉图学园”门口的那块警示牌，牢记着柏拉图学派严谨、求实的传统学风。他对待学生既和蔼又严格，自己却从来不宣扬有什么贡献。对于那些有志于穷尽数学奥秘的学生，他总是循循善诱地予以启发和教育，而对于那些急功近利、在学习上不肯刻苦钻研的人，则毫不客气地予以批评。

柏拉图学派晚期导师普罗克洛斯的《几何学发展概要》中记载着这样一则故事。数学在欧几里得的推动下，逐渐成为人们生活中的一个时髦话题，以至于当时亚历山大国王托勒密一世也想赶这一时髦，学点儿几何学。

虽然这位国王见多识广，但欧氏几何却令他学得很吃力。于是，他问欧几里得“学习几何学有没有什么捷径可走？”欧几里得笑道：“抱歉，陛下!学习数学和学习一切科学一样，是没有什么捷径可走的。学习数学，人人都得独立思考，就像种庄稼一样，不耕耘是不会有收获的。在这一方面，国王和普通老百姓是一样的。”

从此，“在几何学里，没有专为国王铺设的大道”这句话成为千古传诵的学习箴言。

“柏拉图学园”

欧几里得是古希腊著名数学家、欧氏几何学的开创者。欧几里得生于雅典，当时雅典就是古希腊文明的中心。浓郁的文化气氛深深地感染了欧几里得，当他还是个十几岁的少年时，就迫不及待地想进入“柏拉图学园”学习。

一天，一群年轻人来到位于雅典城郊外林荫中的“柏拉图学园”。只见学园的大门紧闭着，门口挂着一块木牌，上面写着：“不懂几何者，不得入内!”这是当年柏拉图亲自立下的规矩，为的是让学生们知道他对数学的重视，然而却把前来求教的年轻人给闹糊涂了。有人在想，正是因为我不懂数学，才要来这儿求教的呀，如果懂了，还来这儿做什么?正在人们面面相觑，不知是退、是进的时候，欧几里得从人群中走了出来，只见他整了整衣冠，看了看那块牌子，然后果断地推开了学园大门，头也没有回地走了进去。

“柏拉图学园”是柏拉图40岁时创办的一所以讲授数学为主要内容的学校。在学园里，师生之间的教学完全通过对话的形式进行，因此要求学生具有高度的抽象思维能力。数学，尤其是几何学，所涉及对象就是普遍而抽象的东西。它们同生活中的实物有关，但是又不来自于这些具体的事物，因此学习几何被认为是寻求真理的最有效的途径。

柏拉图甚至声称：“上帝就是几何学家。”这一观点不仅成为学园的主导思想，而且也为越来越多的希腊民众所接受。人们都逐渐地喜欢上了数学，欧几里得也不例外。他在有幸进入学园之后，便全身心地沉潜在数学王国里。他潜心求索，以继承柏拉图的学术为奋斗目标，除此之外，他哪儿也不去，什么也不干，熬夜翻阅和研究了柏拉图的所有著作和手稿，可以说，连柏拉图的亲传弟子也没有谁能像他那样熟悉柏拉图的学术思想、数学理论。经过对柏拉图思想的深入探究，他得出结论：图形是神绘制的，所有一切现象的逻辑规律都体现在图形之中。因此，对智慧训练，就应该从以图形为主要研究对象的几何学开始。他确实领悟到了柏拉图思想的要旨，并开始沿着柏拉图当年走过的道路，把几何学的研究作为自己的主要任务，并最终取得了世人敬仰的成就。

2.2.2　阿基米德

阿基米德是历史上兼数学家与力学家的伟大学者。在数学上，阿基米德取得了辉煌的成就，被誉为“数学之神”。

阿基米德对数学的最大贡献是对曲边形和曲面体的研究，其中蕴含着丰富的积分学的思想。

阿基米德留下了许多著作，如《论球与圆柱》《圆的度量》《劈锥曲面与回转椭圆体》《论螺线》《平面图形的平衡或其重心》《数沙器》《抛物线圆形求积法》《论浮体》《引理集》《群牛问题》《方法论》等。在这些著作中，阿基米德重点讨论了几何图形的面积和体积计算的有关问题。

导图

在《圆的度量》中，阿基米德将穷竭法用于圆的周长和面积计算。

《论螺线》中讨论了阿基米德螺线（一条射线绕固定点匀速旋转，同时有一点从端点出发沿射线匀速运动，此点形成的曲线）的面积和切线等，证明了第一面积等于第一圆面积的1/3。

在《平面图形的平衡或其重心》中，阿基米德利用杠杆原理找出了平行四边形、三角形及梯形的重心。

在《数沙器》中阿基米德给出了大数（一万以上的数）记法（主要是将数分级），计算出整个宇宙只能填充1063粒沙子。

人物小史与趣事

阿基米德（公元前287—公元前212），数学家、力学家、天文学家，古希腊叙拉古人，早年去亚历山大跟欧几里得的学生学习过，后来一直与亚历山大学派的人有联系，因而是亚历山大学派的成员之一。阿基米德享有“力学之父”的美称，与高斯、牛顿并列为世界三大数学家。他曾说过：“给我一个支点和一根足够长的杠杆，我就能撬动整个地球。”

浮力原理的发现

相传叙拉古赫农王让工匠替他做了一顶纯金的王冠。王冠做好后，国王疑心工匠做的金冠并非全金，但这顶金冠确实与当初交给金匠的纯金一样重。工匠到底有没有私吞黄金呢？既想检验真假，又不能破坏王冠，这个问题不仅难倒了国王，也使诸大臣们面面相觑。

经一大臣建议，国王请来阿基米德检验。

最初，阿基米德也是冥思苦想，无计可施。一天，他在家洗澡，当他坐进澡盆时，看到水往外溢，同时感到身体被轻轻托起。他突然悟到可以用测定固体在水中排水量的办法，来确定金冠的密度。他兴奋地跳出澡盆，连衣服都顾不得穿上就跑了出去，大声喊着“尤里卡！尤里卡！”（意思是“我找到了”）。

经过了进一步的实验以后，他来到了王宫。他把王冠和同等重量的纯金放在盛满水的两个盆里，比较两盆溢出来的水，发现放王冠的盆里溢出来的水比另一盆多。这就说明王冠的体积比相同重量的纯金的体积大，密度不相同，证明了王冠里掺进了其他金属。

这次试验的意义远远大过查出金匠欺骗国王，阿基米德从中发现了浮力定律（阿基米德原理）：物体在液体中所获得的浮力，等于它所排出液体的重量。一直到现代，人们还在利用这个原理计算物体密度和测定船舶载重量等。

阿基米德与杠杆原理

阿基米德对于机械的研究源自他在亚历山大城求学时期。

有一天，阿基米德在久旱的尼罗河边散步，看到农民提水浇地相当费力，经过思考之后他发明了一种利用螺旋作用将水管里的水吸上来的工具，后世的人称其为“阿基米德螺旋提水器”。一直到现在，埃及还有人使用这种器械。这个工具成了后来螺旋推进器的先祖。

当时的欧洲，在工程和日常生活中，经常使用一些简单机械，譬如螺钉、滑车、杠杆、齿轮等，阿基米德花了许多时间去研究，发现了“杠杆原理”和“力矩”的观念，对于经常使用工具制作机械的阿基米德而言，将理论运用到实际的生活上是轻而易举的。他曾说：“给我一个支点和一根足够长的杠杆，我就能撬动整个地球。”

刚好海维隆王遇到了一个棘手的问题：国王替古埃及托勒密王造了一艘船，因为太大、太重，船无法放进海里，国王就对阿基米德说：“你连地球都举得起来，把一艘船放进海里应该没问题吧？”阿基米德立刻巧妙地组合各种机械，造出一架设备，在一切准备妥当后，将牵引设备的绳子交给国王，国王轻轻一拉，大船果然移动下水，国王不得不为阿基米德的天才所折服。从这个历史记载的故事里我们可以了解到，阿基米德极可能是当时全世界对于机械的原理与运用了解最透彻的人。

新式武器

阿基米德年老的时候，叙拉古和罗马之间发生了战争。罗马军队的最高统帅马塞勒斯率领罗马军队包围了他所居住的城市，还占领了海港。阿基米德虽不赞成战争，但又不得不尽自己的职责，保卫自己的祖国。

他制造了一种叫作石弩的抛石机，把大石块投向罗马军队的战舰，或者使用发射机把矛和石块射向罗马士兵。

阿基米德还发明了多种武器来阻挡罗马军队的前进。他发明了大型起重机，把罗马的战舰高高地吊起，随后猛地将其摔进大海，船破人亡。最后罗马士兵都不敢靠近城墙，只要有一根绳子在上方出现，他们就会被吓跑，因为他们相信那个可怕的阿基米德一定在用一种什么新奇的怪物，会使他们一命呜呼。

镜子聚光

太阳的光和热使地球上的万物生长，它蕴藏着无穷无尽的能量。那么，是谁最先想到把太阳能聚集起来加以利用呢？

古希腊的叙拉古城遭到了罗马军队的侵袭。罗马军队乘着扬帆的战舰，耀武扬威地驶向叙拉古港口，叙拉古城的青壮年和士兵们一起上前线去了，城里只剩下了老人、妇女和孩子，处于万分危急的时刻。

就在这时，老阿基米德为了自己的祖国站了出来。他让妇女和孩子们每人都拿着自己家中的镜子一起来到海岸边，让镜子对准强烈的阳光，集中照射到敌舰的主帆上，千百面镜子的反光聚集在船帆的一点上，船帆燃烧起来了，火势趁着风力越烧越旺，罗马人不知底细，以为阿基米德又发明了新式武器，就慌慌张张地逃跑了。

阿基米德的怪癖

那时，人们在平板上覆盖一层薄沙，在沙上面画图研究几何学。这就是当时的“黑板”。

阿基米德只要看到类似的东西，一概加以利用。如果平板上面积了一层灰，他不是把灰尘抹掉，而是在灰上作图研究几何学。如果有了炉灰，他就把灰抹平，在上面开始画图研究。

当时的人们还有一种习惯，洗完澡从水里出来后，要在身上涂抹橄榄油。每逢这时，阿基米德便表现出他的怪癖，用指尖在自己的皮肤上画图，开始研究几何学。

“等一下杀我的头！”

据说，叙拉古城沦陷时，罗马官兵知道阿基米德足智多谋，又富有爱国精神，所以他们惧怕阿基米德胜过惧怕叙拉古国王，进城后不急于进攻王宫而直奔阿基米德的住处。

官兵一脚踢开房门，只见床上空荡荡的，而地上一动不动地蹲着一个两腮长着长长花白胡子的老人，原来这位75岁的数学家通宵未眠，正双手托着下巴，聚精会神地看着画在地上的几何图形。当罗马士兵的利剑碰到阿基米德的鼻尖时，他才从数学王国里回过神来。但他毫无惧色，用手推开了剑，平静地说：“等一下杀我的头，再给我一会儿工夫，让我把这条几何定理证明完，不能给后人留下一道还没有证出来的难题。”说完又沉思起来。

然而残暴而又愚蠢的罗马士兵不由分说，一剑砍了过去。这一剑不仅砍下了一位伟大数学家的脑袋，也砍掉了一条没有问世的“阿基米德定理”。

2.2.3　阿波罗尼奥斯

亚历山大时期第三位重要的数学家阿波罗尼奥斯（约公元前262—公元前190），出生于小亚细亚的珀尔加。阿波罗尼奥斯的贡献涉及几何学和天文学，但他最重要的数学成就是在前人工作的基础上创立了相当完美的圆锥曲线理论。

导图

《圆锥曲线论》一书共8卷487个命题，主要讨论了当时人们感兴趣的圆锥曲线问题，是古希腊几何学的最高成就。

在数学方面，阿波罗尼奥斯写成了多本著作，如《截取线段成定比》《截取面积等于已知面积》《论接触》《平面轨迹》等。

阿波罗尼奥斯提出了多个传世问题，如“阿波罗尼奥斯问题”“阿波罗尼奥斯圆”等。

人物小史与趣事

阿波罗尼奥斯（约公元前262—公元前190），古希腊诗人、语法学家、数学家，是亚历山大学派中排在欧几里得和阿基米德之后的数学家。据说他年轻时曾跟欧几里得的学生学习过，后回到小亚细亚的帕加马为当时的国王服务，晚年热衷于天文学，曾计算过月亮到地球的距离，推广了前人关于“本轮”“均轮”学说，为《至大论》奠定了基础。他的著作《圆锥曲线论》将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人无插足的余地。