2.3 亚历山大后期数学

崛起于意大利半岛中部的罗马民族，在公元前1世纪完全征服了古希腊各国，从而夺得了地中海地区的霸权，并建立了强大的罗马帝国。罗马统治下的亚历山大城，由于古希腊文化的惯性影响以及罗马统治者对那里的自由研究的宽松态度，在相当长一段时间内仍然维持着学术中心的地位，并产生了一批杰出的数学家和数学著作。通常把公元前30年到公元6世纪的这一段时期，称为希腊数学的“亚历山大后期”。

2.3.1　海伦

亚历山大后期的古希腊几何，已经失去前期的光辉，这一时期开始阶段唯一值得一提的几何学家是海伦（约公元1世纪）。

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人物小史与趣事

海伦，古希腊数学家、力学家、机械学家，生卒年已不可考。约公元62年活动在亚历山大城，是亚历山大学派后期一员。他多才多艺，善于博采众长，写过很多书，如《测量仪器》《自动建造技术》《武器制作法》《定义》《几何》《度量》《测体积学》等。海伦在论证中大胆使用某些经验性的近似公式，注重数学的实际应用。

海伦的生平

海伦擅长测量，给出了多种求图形面积和体积的定理和公式，其中最著名的是海伦公式，即已知三边长求三角形面积。海伦的许多学术著作都是用希腊文撰写，但大部分早已失传。其主要著作有《度量》《测体积学》《几何》等。

海伦曾在亚历山大博物馆工作过。在那里，他传授几何、物理、气体学和机械学。他的书可分成两类：一类是理论的部分，包括几何、算数、天文学和物理；另一类是技能指南的部分，包括物质学、建筑学、木工和生活上使用到的技巧。天文学方面，他提出如何利用月亮来测量亚历山大城到罗马城的距离；气体学方面，他提出如何利用空气、河流和水压来制作机械，并将其运用到战场上；物理学方面，他利用杠杆、滑轮、阶梯或螺旋来撑起重物，并考虑物体的中心等问题；数学方面，他已经会求三角形和正方形的面积，知道边数是3～12的正多面体种类，锥和柱的表面积算法，并且会算平方根的近似值，实际上他也找出了1～100所有的数的立方根，当然海伦最著名的是证明了“海伦公式”。

海伦的著作介绍

海伦在数学方面最能代表其成就的是《度量》（Metrica）。该书共分为三卷：第一卷由矩形和三角形开始，讨论了平面图形和立体表面的面积，并给出了著名的“海伦公式”；第二卷探讨立体图形，包括圆锥体、圆柱体、棱柱体等立体体积的求法；第三卷介绍了平面和立体图形按给定比例的分割，并用到了求立方根的近似公式。

海伦另外一部关于测地学的著作《测量仪器》（Dioptra）也很有名。在这本书中，他对如何在隧道两端同时动工而能使之衔接给出说明，并解释如何测量两地的距离，包括有一地不能到达以及两地均能看见但均不能到达的情形；同时他也说明如何从已知点到不可及的一线作垂线，以及无须进入地面而如何测量这块地的面积。

海伦的著作掺和了严密数学、近似方法以及前人的公式，他继承了前人的测量科学并将其发扬光大。他的测地学著作被沿用了好几百年。

2.3.2　托勒密

亚历山大后期几何学最富创造性的成就是三角学的建立，其中最卓越的代表人物是托勒密（约100—170）。

托勒密所著的《天文学大成》以公理化方法写成，主要阐述了当时的天文历法。《天文学大成》中应用了大量的数学知识。

将圆周分成了360°，引入了角度的60进制。

列出了0 °～180°每隔°的圆心角所对的弦的长度，相当于给出了0°～90°间隔°的角的正弦值。

提出并证明了托勒密定理：在一个内接四边形中，如图所示，有AB×CD+AD×BC=AC×BD。

给出了3个三角函数恒等式：

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人物小史与趣事

托勒密（约100—170），古希腊后期著名天文学家、数学家、地理学家、光学家，生前主要活动在亚历山大城，为托勒密王朝服务。他一生写了多部科学著作，其中有3部对科学发展有重大影响。第一部是最负盛名的《天文学大成》，也叫《大成》或《至大论》；第二部是《地理学指南》，全面探讨了古希腊罗马地区的地理知识；第三部是有关占星学的《四书》，其尝试改进占星术中绘制星图的方法，以便融入亚里士多德的自然哲学。

不准确的地图

托勒密对地理位置的计算很不准确，据说他计算出的从欧洲横跨大西洋到亚洲的距离，比真实距离要小得多。这导致哥伦布企图从西班牙向西驶往亚洲印度，结果到了美洲，发现了新大陆。

“地心说”的故事

托勒密信奉亚里士多德的地心说，并且完善了地心理论。他认定“地球在世界的中央，所有的重物都朝着它运动”。

他设计了偏心轮、本轮和均轮三种圆周运动，还用它们的组合来描述各个行星的运动，比较成功地预言了行星的视位置，对天文学的发展有一定的贡献。

直到16世纪中期哥白尼的日心说发表，地心说才被推翻。

2.3.3　丢番图

古希腊数学亚历山大后期的一个重要特征，是突破了前期以几何学为中心的传统，使算术和代数成为独立的学科，这方面的先行者是尼可马科斯（约1世纪）。在所有亚历山大后期的数学著作中，对古典希腊几何传统最离经叛道的一本是丢番图（约246—330）的《算术》。这部著作用纯分析的途径处理数论与代数问题，可以看作是希腊算术与代数成就的最高标志。

《算术》是本问题集，主要讨论了数论问题，包含了多项数学成就，共13卷，290个问题。书中广泛研究了不定方程问题。

1637年，法国数学家费马受其启发，提出了“费马猜想”。

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人物小史与趣事

丢番图（约246—330），古希腊亚历山大学后期的重要学者和数学家，是代数学的创始人之一，有“代数之父”之称。关于他的生平今天人们仅知道两件事：一是其曾在亚历山大后期的一个基督学校教过书，其著名的《算术》就是献给学校校长的一本教材；二是其活了84岁，年龄是后人通过公元5世纪希腊诗文集中收录的一首丢番图的墓志铭推算出来的。丢番图对算术理论有深入的研究，其完全脱离了几何形式，在希腊数学中独树一帜。

丢番图的墓志铭

在《希腊诗文集》中，麦特罗尔写了丢番图的墓志铭。

墓志铭是用诗歌形式写成的：“过路的人！这儿埋葬着丢番图。请计算下列数目，便可知他一生经过了多少寒暑。他一生的六分之一是幸福的童年，十二分之一是无忧无虑的少年。再过去一生的七分之一，他建立了幸福的家庭。五年后儿子出生，不料儿子竟先其父四年而终，只活到父亲岁数的一半。晚年丧子老人真可怜，悲痛之中度过了风烛残年。请你算一算，丢番图活了多久，才和死神见面？”

巧妙解题的故事

丢番图最得意的学生叫帕普斯。他从很小的时候就开始跟随着丢番图学习数学。

有一天，帕普斯遇到一道让他十分为难的问题：有4个数，把其中每三个相加，其和分别为20、22、24和27，求这四个数。

按照通常列方程解应用题的方法，帕普斯设4个数分别为t，依题意列方程组，可在求解时他被这个方程组搞得昏头昏脑，难以顺利进行。

百思不解的帕普斯只得向老师丢番图请教，问是否有简便的方法解答这个问题。

丢番图看后笑着回答：“行啊！行啊！”随即就给帕普斯讲了一个极为简单的解法。丢番图一反常规，不去分设4个未知数，而是设4个未知数的和为x减去其余三个数之和所得的差，然后列方程解答。

丢番图的解答让帕普斯茅塞顿开，心悦诚服的他从此坚定了毕生从事数学研究的决心，后来也成为了一位著名的数学家。

2.3.4　帕普斯

亚历山大最后一位重要的数学家是帕普斯（约300—350）。他唯一的传世之作《数学汇编》是一部总结前人成果的经典著作，在数学史上有着特殊的意义。

帕普斯证明了等周问题，即周长相等的平面图形中圆面积最大。

帕普斯证明了圆锥曲线的焦点和准线性质：一动点到一定点的距离与到一直线的距离比等于常数，则动点轨迹为圆锥曲线。当常数等于1时为抛物线，小于1时为椭圆，大于1时为双曲线。

帕普斯发现了旋转体的体积计算（帕普斯几何中心定理，也叫古尔丁定理）：一个平面绕一平面上的轴线旋转而成的立体的体积，等于这个图形面积乘以其重心相应半径所画的圆周长。

帕普斯证明了“帕普斯问题”：设P1、P2、P3是一点到3条固定直线的距离，若，λ是常数，则点的轨迹为圆锥曲线。

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人物小史与趣事

帕普斯

帕普斯（或巴普士，约300—350），古希腊数学家，是古希腊后期最伟大的几何学家。帕普斯一生有大量著作，但可惜只有《数学汇编》保存下来。《数学汇编》不仅对前辈学者的著作做了系统性的整理，而且还发展了前辈的某些思想，保存了很多古代珍贵的数学作品的资料，对数学史具有重大的意义。

帕普斯定理

设a、b、c、d、e和f 为平面上6条直线。如果a与b的交点A、c与d的交点B、e与f的交点C共线，且d 与e的交点A'、a与f 的交点B'、b与c的交点C'共线，则a与d的交点X、b与e的交点Y、c与f 的交点Z共线。这个定理叫作帕普斯定理。

帕普斯与《数学汇编》

《数学汇编》共有8篇：第1篇是算术；第2篇提出了连乘法；第3篇是关于平面几何与立体几何，其中有寻找两条已知线段的比例中项问题，有关于算术平均、几何平均、调和平均以及把三者表示在一个几何图形上的问题，并揭示了如何把正五面体内接于一个球内；第4篇是关于3个已知圆彼此外切问题，还详细讨论了阿基米德螺线、尼科梅德斯蚌线及希庇亚斯割圆曲线问题等，并涉及任何角的三等分问题；第5篇是关于面积和体积问题；第6篇是对先前的天文学家和数学家的著作的评注；第7篇阐述了术语分析和综合以及定理和问题之间的区别；第8篇主要是关于力学。