2.8　小结

现代控制理论是以线性代数和微分方程为主要数学工具，以状态空间法为基础，对控制系统进行分析与设计的理论。

①状态空间表达式由状态方程和输出方程组成；状态方程是一个一阶微分方程组，反映了系统状态的内在联系以及输入对状态的控制作用；输出方程是一个代数方程，反映了系统状态对输出的影响以及输入对输出的直接作用。状态空间描述了“输入→状态→输出”这一信息传递过程，考虑了被经典控制理论的输入→输出描述所忽略的系统状态，因此它揭示了系统运动的本质和全部信息，即输入引起状态的变化，而状态决定了输出。对于给定的控制系统，首先根据其物理机理建立微分方程，然后通过定义状态变量可转换为状态空间表达式。

②对于同一个控制系统，由于状态变量的选择不唯一，故建立的状态空间表达式也不是唯一的。但是同一系统的传递函数矩阵却是唯一的，即所谓传递函数矩阵的不变性。状态变量个数等于系统中独立储能元件的个数，但由于状态变量选择的非唯一性，对于同一系统，其状态空间表达式可能不同，但状态变量个数却是相同的。

③系统的微分方程、传递函数和结构图与状态空间表达式之间可以相互转换。根据系统的传递函数可直接写出系统的能控标准型实现。当系统的数学模型以微分方程的形式描述且输入变量包含导数项时，可先将其等效地转换为系统的传递函数，然后利用传递函数的转换方法来建立系统的状态空间表达式，这种方法可大大简化其建模过程。

④线性变换不改变系统的特征值和传递函数矩阵。状态空间表达式经线性变换可将系统矩阵A转换为对角标准型或约当标准型。若系统矩阵A的特征值互异，必存在非奇异变换矩阵，将系统矩阵A转换为对角标准型。当系统矩阵A的特征值有重根时，一般来说，经线性变换，可将A转换为约当标准型。