2.6　将线性系统状态方程化为标准形式

2.6.1　线性系统的特征值及其不变性

线性定常系统的状态方程为

式中　A——n×n常矩阵；

B——n×r常矩阵。

系统的特征值，就是其系统矩阵A的特征值，即特征方程的根。对于线性定常系统，可用特征值作为描述系统动力学特性的重要参量。系统特征值的形态不同，其状态方程的标准形式也不同。不难理解，系统的特征值就是系统传递函数的极点。因此，明确特征值的性质有重要意义。

特征值的性质如下。

①一个n维系统的n×n方阵A，有且仅有n个特征值。

②物理上存在的系统，方阵A为实常矩阵，其n个特征值或为实数，或为共轭复数对。 

③对系统进行线性非奇异变换，其特征值不变。

证明　作线性非奇异变换，则有，因此

为证明线性变换下系统特征值不变，必须证明

由于乘积的行列式是每个行列式的乘积，所以

④设λi为A的一个特征值，若存在某个n维非零向量vi，使Avi=λivi，则称vi为属于λi的特征向量，其中

⑤设λ1、λ2、…、λn为系统矩阵A的特征值，v1、v2、…、vn是矩阵A的分别属于这些特征值的特征向量，当λ1、λ2、…、λn两两相异时，v1、v2、…、vn线性无关，因此由这些特征向量组成的矩阵P必是非奇异的，其中

⑥若系统矩阵A具有如下形式，即

则其特征多项式为

其特征方程的根就是该系统的极点，即系统的特征值。

2.6.2　将线性系统状态方程化为对角标准型

（1）系统矩阵A具有任意形式

定理2-1　对于线性定常系统，如果其特征值λ1、λ2、…、λn是两两相异的，则必存在非奇异矩阵P，通过变换，状态方程将被化为对角标准型，即

其中

证明　

①由特征值性质⑤知，特征向量可组成非奇异矩阵P，即

②由特征值性质④知Avi=λivi，因此

上式两端左乘P-1，得

③由特征值性质③知，线性定常系统变换后为。

变换前后状态方程的系数矩阵的关系为。

由此定理得证。

【例2-9】 线性定常系统，其中

将该状态方程化为标准形式。

解

①确定系统的特征值。

得λ1=2，λ2=1，λ3=-1。由于该系统的特征值为两两相异的，所以状态方程可化为对角标准型。

②确定非奇异矩阵P。首先求出A的分别属于λ1、λ2、λ3的特征向量。

因为Avi=λivi（i=1，2，3）

所以

即

不难得出v11=K（任意常数），v21=0，v31=0

取基本解

同理可得

因此特征向量组成的矩阵P为

矩阵P的逆矩阵为

③求系数矩阵。

故该系统状态方程的对角标准型为

（2）系统矩阵A具有特定形式 

定理2-2　对线性定常系统，如果其特征值λ1、λ2、…、λn是两两相异的，且系统矩阵A具有如上特定形式，则将系统状态方程化为对角标准型的非奇异矩阵P可由下式构造

即

其中

证明

①由特征值性质⑤可知，由两两相异的特征值λ1、λ2、…、λn对应的特征向量组成的矩阵P必是非奇异矩阵，即

②由特征值性质④有

Avi=λivi（i=1，2，…，n）　

即

③根据上式可导出

整理得

④求得特征向量为

式中　K——任意常数。

取基本解K=1，则

因此

至此，定理得证。

【例2-10】 一线性定常系统，其中

将该状态方程化为标准型。

解

①确定系统的特征值。

因此，系统的特征值为λ1=2，λ2=1，λ3=-1，它们是两两相异的，且系统矩阵A具有定理2-2中的特定结构。

②确定非奇异矩阵P。

矩阵P的逆矩阵为

③求系数矩阵。

故该系统状态方程的对角标准型为

2.6.3　将线性系统状态方程化为约当标准型

定理2-3　线性定常系统=Ax+Bu，如果系统矩阵的形式为

且其特征值λ1是m重根，λ2、λ3、…、λl是两两相异的，则将系统状态方程化为约当标准型的非奇异矩阵Q的形式如下。

当m=2时

当m=3时

因此，状态方程的约当标准型为

其中，。

【例2-11】 一线性定常系统=Ax+bu，其中

将该系统的状态方程化为约当标准型。

解

①确定系统的特征值。

因此系统的特征值为λ1=2，是三重根，即m=3。

②确定非奇异矩阵Q。

矩阵Q的逆矩阵为

③求系数矩阵与。

故该系统状态方程的约当标准型为