第二节 点、直线、平面的投影
点、线、面是构成物体表面最基本的几何要素。为了迅速而正确地画出物体的投影，必须首先掌握这些几何元素的投影规律。
一、点的投影
1.点的投影规律
（1） 点投影的形成 国家标准规定：空间点用大写字母如A、B、C…表示，点的水平投影用相应的小写字母表示，如a、b、c…；点的正面投影用相应的小写字母加一撇表示，如a'、b'、c'…；点的侧面投影用相应的小写字母加两撇表示，如a″、b″、c″…。
如图2-13（a）所示，将空间点A置于三个相互垂直的投影面体系中，分别过A点作垂直于V面、H面、W面的投射线，得到点A的正面投影a'、水平投影a和侧面投影a″。点A的三面投影不在同一个平面内，称为点的投影的立体图。
（2）点的投影图 为了在一个平面内表达空间点的三面投影，如图2-13（b）所示，正投影面（V面）不动，将水平投影面（H面）、侧立投影面（W面）按箭头所指的方向旋转90°，这样与正投影面处于同一个平面上，便得到点A的三面投影。图中aX、aY、aZ分别为点的投影连线与投影轴X、Y、Z的交点。
图2-13 点的投影
（3）点的投影规律 由点的三面投影图，可得点的投影规律。
①点的两面投影连线垂直于相应的投影轴。即：
aa'⊥OX，a'a″⊥OZ，aaYH⊥OYH，a″aYW⊥OYW。
②点的投影到投影轴的距离，等于该点到相应的投影面的距离，如图2-14所示，即：
a'aX=
=Aa=OaZ=Z 表示点A到H面的距离；
a aX=a″aZ=A a'=OaY=Y 表示点A到V面的距离；
a'aZ=
=A a″=OaX=X 表示点A到W面的距离。
图2-14 点的投影到投影面的距离
【例2-1】 已知点A（20、15、18），求作它的三面投影。
作图步骤，如图2-15所示。
图2-15 点A三面投影的作图步骤
①画出投影轴，标出坐标名称，在YH和YW之间作45°斜线；
②在OX轴正方向O点开始量取20，得aX=20；
③过aX点作OX轴垂线，自aX点向下量15得a点、向上量18得a'点；
④由a点作平行于X轴的水平线，经45°斜线后作平行于Z轴的垂直线；由a'点作平行于X轴的水平线，两线的交点即为a″。
2.两点的相对位置
空间两点的相对位置，可以由两点的坐标关系来确定。如图2-16所示，X坐标值反映点的左、右位置，X坐标值大者在左；Y坐标反映点的前、后位置，Y坐标值大者在前；Z坐标值反映点的上、下位置，Z坐标值大者在上。
从图2-16中可以看出，由于A点的X坐标小于B点的X坐标，所以点A在点B的右边；A点的Y坐标小于B点的Y坐标，所以点A在点B的后面；A点的Z坐标小于B点的Z坐标，所以点A在点B的下方。
图2-16 点的相对位置
【例2-2】 已知空间点A（5，10， 15）的三面投影，B点在A点的左边10，前面4，下方8。求作B点的三面投影。
作图步骤，如图2-17所示。
①首先画出A点的三面投影，如图2-17（a）所示；
②在a a'左边作距离为10的平行线，如图2-17（b）所示；
③在a a″下方作距离为8的平行线，两线交点即为b'，如图2-17（c）所示；
④在水平投影aaYH前方作距离为4的平行线，两线交点即为b，如图2-17（d）所示；
⑤由宽相等，通过45°斜线作出点b″，如图2-17（e）所示；
⑥完成图形，如图2-17（f）所示。
图2-17 求点的相对位置坐标
3.重影点的表示方法
如图2-18所示，A、B两点的投影中，A点在B点的正前方，a'和b'相重合。在V面的投影中，A可见，B不可见。在投影图中，对不可见的点投影，加圆括号表示。图中B的V面投影表示为（b'）。
图2-18 重影点表示
二、直线的投影
1.直线的三面投影
①直线的投影一般仍是直线，特殊情况下，直线垂直于投影面，它在投影面上的投影积聚为一点，如图2-19所示。
图2-19 直线的投影特性
②直线的投影可由直线上两点的同面投影来确定。图2-20（a）所示为线段的两端点A、B的三面投影，连接ab、a'b'、和a″b″，就是直线AB的三面投影，如图2-20（b）所示。
图2-20 直线的三面投影
2.直线上点的投影特性
直线上点的投影必在该直线的同面投影上，且符合点的投影规律。反之，如果点的各个投影都在直线的同面投影上，则该点一定在该直线上。直线上的点分割直线之比在其投影中保持不变，如图2-21所示，点M在直线AB上，则AM∶MB=am∶mb= a'm'∶ m'b'= a″m″∶ m″b″。
图2-21 属于直线上点的投影
3.各种位置直线的投影特性
直线按空间位置分为三类：投影面的平行线、投影面的垂直线和一般位置直线。平行线和垂直线又称特殊位置直线。
（1）投影面平行线 平行于一个投影面而与其他两个投影面倾斜的直线，称为投影面平行线。共有三种，定义如下：
正平线 平行于V面并与H、W面倾斜的直线；
水平线 平行于H面并与V、W面倾斜的直线；
侧平线 平行于W面并与H、V面倾斜的直线。
投影面平行线的投影特性见表2-1。
表2-1 投影面平行线的投影特性
（2）投影面垂直线 垂直于一个投影面，与另外两个面平行的直线，称为投影面垂直线。按照所垂直的投影面不同，共有三种，定义如下：
正垂线 垂直于V面并与H面、W面平行的直线；
铅垂线 垂直于H面并与V面、W面平行的直线；
侧垂线 垂直于W面并与H面、V面平行的直线。
投影面垂直线的投影特性见表2-2。
表2-2 投影面垂直线的投影特性
（3）一般位置直线 对三个投影面都倾斜的直线，称为一般位置直线。
一般位置直线的投影特性见表2-3。
表2-3 投影面一般位置直线的投影特性
三、平面的投影
在投影中，一般常用平面图形来表示空间的平面，如图2-22所示。平面按空间位置可分为三类：投影面的平行面、投影面的垂直面和一般位置平面，前两种又称为特殊位置平面。
图2-22 平面的一般表示法
1.投影面平行面
平行于一个投影面，与另外两个投影面垂直的平面，称为投影面平行面。根据平行不同的投影面，可分为如下三种：
正平面 平行于V面并与H面、W面垂直的平面；
水平面 平行于H面并与V面、W面垂直的平面；
侧平面 平行于W面并与H面、V面垂直的平面。
投影面平行面的投影特性见表2-4。
表2-4 投影面平行面的投影特性
2.投影面垂直面
垂直于一个投影面，与另外两个投影面倾斜的平面，称为投影面垂直面。根据垂直不同的投影面，可分为如下三种：
正垂面 垂直于V面并与H面、W面倾斜的平面；
铅垂面 垂直于H面并与V面、W面倾斜的平面；
侧垂面 垂直于W面并与H面、V面倾斜的平面。
投影面垂直面的投影特性见表2-5。
表2-5 投影面垂直面的投影特性
3.一般位置平面
倾斜于三个投影面的平面称为一般位置平面，如图2-23所示。
由于一般位置平面与三个投影面都倾斜，因此它的三个投影面都缩小，而且与原来的平面相似。三角形SAB的水平投影sab、正面投影s'a'b'、侧面投影s″a″b″均为三角形，都小于平面SAB。
图2-23 一般位置平面的投影
四、平面上直线和点的投影
1.平面上的直线
直线在平面上的几何条件是：
直线经过平面上的两点，或通过平面上的一个点，且平行于属于该平面任一直线，则直线在该平面上。
【例2-3】 如图2-24所示，已知△ABC上的直线EF的正面投影e'f'，求水平投影ef。
图2-24 求EF的水平投影
作图步骤，如图2-25所示。
①将e'f'延长，分别交a'b'于m'，交b'c'于n'，如图2-25（a）所示；
②分别由m'、n'作竖直线，交ab于m，交bc于n，如图2-25（b）所示；
③由e'、f'两点作竖直，交mn于e、f点，如图2-25（c）所示；
④完成图形，如图2-25（d）所示。
图2-25 求EF点水平投影的步骤
2.平面上的点
点在平面上的几何条件是：若点在平面内的一条直线上，则点一定在该平面上。因此，在平面上取点时，应先在平面上取直线，再在该直线上取点。
【例2-4】 如图2-26所示，已知△ABC上点E的正面投影e'和点F的水平投影f，求作它们的另一面投影。
作图步骤，如图2-27所示。
①过e'点作一条辅助直线a'1'，根据投影关系，作出水平投影a1，如图2-27（a）；
②过e'作竖直线与a1相交，交点e就是所求点，如图2-27（b）；
③连接af，af交bc于2，根据投影原理作出2'点，如图2-27（c）；
④过f作垂直线与a'2'的延长线相交，交点f'即为所求，如图2-27（d）。
图2-26 求点投影
图2-27 求点投影作图步骤