4.3 沿程水头损失计算
4.3.1 均匀流的基本方程
由前面的分析可知，均匀流过水断面上的切应力τ是引起沿程水头损失的主要原因，而切应力τ的大小分布沿程不变。反映切应力与沿程水头损失hf之间关系的方程式称为均匀流基本方程。根据均匀流的定义，若要在圆管有压流动中形成均匀流，则管道必须是管径和圆管壁面材料均沿程不变的长直管。对于明渠流动，则要求渠道断面的形状、尺寸、壁面粗糙情况都沿程不变，同时还要是恒定流。为建立均匀流基本方程，以有压管中的均匀流为例，如图4.5所示，取过水断面1—1至2—2长度为l的流程作为控制体进行轴向受力分析，由于是等直径圆管，两个过水断面面积相等，即A1=A2=A。设流动轴线与竖直方向的夹角为α，流段所受的轴向外力有：P1=p1A1，P2=p2A2；重力的分量Gcosα=γAlcosα=γA（z1-z2）；流段边壁的摩擦切力T=τ0χl，其中，τ0为边壁上的平均应力；χ为湿周。
图4.5 有压管中均匀流
均匀流是等流速直线流动，故流段所受的轴向外力必定相互平衡，则
P1+Gcosα-P2-T=0，即（p1-p2）A+γA（z1-z2）-τ0χl=0
化简为：
上式的左端为均匀流单位长度上的测压管水头损失或是总水头损失，即为水力坡度J，而水力半径R是过水断面面积A与湿周χ的比值。这样，上式可简化为
（4.7）
式（4.7）即为均匀流基本方程。它表示均匀流单位长度的水头损失与内摩擦应力的一次方成正比。只要内摩擦应力能够求出，则水头损失就很容易确定。
4.3.2 沿程水头损失计算公式
根据均匀流的基本方程，沿程水头损失hf是由于τ0的存在而产生的。从物理的角度我们可以知道：τ0=f（R，v，ρ，u，Δ），同时
（4.8）
式中 λ——沿程阻力系数或是达西系数，它综合反映了各个与τ0有关的因素对hf的影响。
将式（4.8）代入式（4.7）中可得
（4.9）
上式称为达西公式，它是计算沿程水头损失的通用公式，适用于任何流动形态的液流。
对于有压圆管流动，4R=d，代入式（4.9），可得到有压圆管流动的沿程水头损失计算公式，即
（4.10）
1775年法国工程师谢才根据明渠均匀流大量实测资料，提供了计算恒定均匀流的谢才公式，即
（4.11）
式中 C——谢才系数；
R——水力半径；
J——水力坡度。
其实，谢才公式与达西公式是一致的。将
代入达西公式就可以推导出谢才公式。
谢才公式是根据粗糙区的大量资料总结出来的，只适用于粗糙区。谢才系数是反映沿程阻力变化规律的系数，常用经验计算公式有以下几个。
曼宁公式
（4.12）
式中 n——壁面粗糙系数，对于管流和明渠流的n值见表4.1。
表4.1 壁面粗糙系数n的取值
巴普洛夫斯基公式
（4.13）
其中：
，公式适用范围为0.1m≤R≤3.0m，0.011≤n≤0.04。
这里要注意，上述各公式中水力半径的单位均采用“m”。
【例4.2】 有一混凝土衬砌的等腰梯形渠道，已知底宽b=10m，深h=3m，渠道边坡为1:1，水流为均匀流，流动处于紊流粗糙区，试求谢才系数。
【解】 梯形渠道的过流面积
湿周
水力半径
查表4.1可知n=0.014
代入曼宁公式得：
代入巴普洛夫斯基公式的指数
代入式（4.13）中有
综上可知由上述两种方法所求的谢才系数基本上是相等。