3.5 恒定流的动量方程_水力学与桥涵水文-QQ阅读男生玄幻网

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3.5　恒定流的动量方程

恒定总流的动量方程是继总流的连续性方程与伯努利方程之后，研究液体流动的又一基本方程，三者统称水力学三大方程。

工程实践中往往需要计算运动液体与固体边壁间的相互作用力，若利用伯努利方程，通过确定接触面上的压强分布与切应力分布而后积分的方法求解，则计算比较复杂，特别是当有些流动的水头损失以及压强与切应力分布难以确定时无法求解。为此，需要利用动量方程。该方程将运动液体与固体边壁间的作用力，直接与运动液体的动量变化联系起来，它的优点是不必知道流动范围内部的流动过程，而只需知道端面上的流动状况。

恒定总流的动量方程是根据理论力学动量定理导得的。这一定理可表述为：物体的动量变化率等于所受外力的合力F，即

它是个矢量方程，同时方程中不出现内力。

从恒定总流中任取一束元流（图3.18），初始时刻在1—2位置，经dt时段运动到1'—2'位置，设通过过水断面1—1与2—2的流速分别为u1与u2。

图3.18　恒定总流任意流段

dt时段内元流的动量增量dK等于1'—2'段与1—2段液体各质点动量的矢量和之差，由于恒定流公共部分1'—2段的形状与位置及其动量不随时间改变，因而元流段的动量增量等于2—2'段动量与1'—1段动量之矢量差。根据质量守恒原理，2—2'段的质量与1'—1段的质量相等（设为dM），则元流的动量增量为

dK=dMu2-dMu1=dM（u2-u1）

对于不可压缩的液体，dQ1=dQ2=dQ，故

dK=ρdQdt（u2-u1）

根据动量定理，得恒定元流的动量方程

ρdQ（u2-u1）=F　　（3.32）

式中，F是作用在元流段1—2上外力的合力。

再建立恒定总流的动量方程。总流的动量变化∑dK等于所有元流的动量变化之矢量和，若将总流端部断面取在渐变流上，则dt时间段总流的动量变化等于元流积分，则有

由于流速u在过水断面上的分布一般难以确定，故用断面平均流速v代替u来计算总流的动量增量，得

∑dK=ρdt（β2v2v2A2-β1v1v1A1）

按断面平均流速计算的动量ρv2A与实际动量存在差异，为此需要修正。因断面1—1与断面2—2是渐变流过水断面，即v方向与各点u方向几乎相同，则可引入动量修正系数β——实际动量与按断面平均流速计算的动量的比值。β值总是大于1。β值决定于总流过水断面的流速分布，一般渐变流动的β=1.02～1.05，但有时可达到1.33或更大，工程上常取β=1。

注意到v1A1=v2A2=Q，则

∑dK=ρQdt（β2v2-β1v1）

根据质点系的动量定理，对于总流有，得

　　（3.33）　　

或　　ρQ（β2v2-β1v1）=∑F　　（3.34）

上式即为液体恒定总流在没有分流或汇流情况下的动量方程，式中∑F是作用在总流段1—2上所有外力的合力，式的左端代表单位时间内所研究流段通过下游断面流出的动量和通过上游断面流入的动量差。

恒定总流的动量方程式是一个向量方程，在直角坐标系中可以将该方程写为三个投影表达式：

　　（3.35）　　

动量方程是水动力学中重要的基本方程之一。应用动量方程式要注意以下几点。

①动量方程式是矢量式，式中流速和作用力都是有方向的。因此，列动量方程式时，必须首先选定投影轴，并标明投影轴的正方向，然后把流速和作用力向该投影轴投影。投影轴的选取以计算方便为宜。

②控制体也是可以任意选取的，但一般是取整个总流的边界为控制体边界，对明渠水流来说，总流的边界既有底部、侧壁的固体边界，也有自由水面边界；控制体的横向边界，一般都是取过水断面。

③∑F是作用在被截取的液流上的全部外力之和，外力应包括质量力（通常为重力）以及作用在断面上的压力和固体边界对液流的压力及摩擦力。

④动量方程的左端，是单位时间内控制体内液体的动量改变值，必须是输出的动量减去输入的动量。

⑤动量方程只能求解1个未知数，若方程中有多个未知数，必须结合连续性方程或能量方程求解。

当液流有分流或汇流的情况时，动量方程可推广应用于流场中任意选取的封闭控制体。

如图3.15（a）所示分流情况时，有Q1=Q2+Q3，则

　　（3.36）　　

如图3.15（b）所示汇流情况，有Q1+Q2=Q3，则

　　（3.37）　　

【例3.4】　水流从喷嘴中水平射向一相距不远的静止固体壁面，接触壁面后分成两股并沿其表面流动，其水平图如图3.19所示。设固壁及其表面液流对称于喷嘴的轴线。若已知喷嘴出口直径d为40mm，喷射流量Q为0.0252m3/s，求液流偏转角θ分别等于60°、90°与180°时射流对固壁的冲击力R，并比较它们的大小。