3.3　恒定流连续性方程

液体连续性方程是水力学的一个基本方程，方程的实质是液体运动的质量守恒定律。

3.3.1　元流连续性方程

从总流中任取一段（图3.9），其进口过水断面1—1面积为A1，出口过水断面2—2面积为A2；再从中任取一元流，其进口过水断面为dA1，流速为u1，出口过水断面积为dA2，流速为u2。考虑到：

①在恒定流条件下，元流的形状与位置不随时间改变，从而控制体的形状及位置亦不随时间而变；

②不可能有液体经元流侧面流进或流出；

③液体是不可压缩的连续介质，元流内部不存在空隙，ρ1=ρ2=常数。

根据质量守恒定律，单位时间内流进dA1的质量等于流出dA2的质量，即：

ρ1u1dA1=ρ2u2dA2=常数　　（3.7）

化简后可得　　u1dA1=u2dA2=dQ=常数　　（3.8）

或　　dQ1=dQ2=dQ　　（3.9）

式（3.8）是恒定元流的连续性方程。它表明：不可压缩元流的流速与其过水断面面积成反比，因而流线密集的地方流速大，而流线稀疏的地方流速小。

3.3.2　总流连续性方程

总流是无数个元流之和，将元流的连续性方程在总流过水断面上积分可得总流的连续性方程：

　　 （3.10） 　　

引入断面平均流速后成为

v1A1=v2A2=Q=常数　　（3.11）

式（3.11）是不可压缩恒定总流的连续性方程，它在形式上与元流的连续性方程相似，应注意的是：总流是以断面平均流速v代替点流速u。上式表明，不可压缩液体的恒定总流中，任意两过水断面，其平均流速与过水断面面积成反比。

连续性方程是不涉及任何作用力的方程，所以，它无论对于理想液体或实际液体都适用。

连续性方程不仅适用于恒定流条件下，而且在边界固定的管流中，即使是非恒定流，对于同一时刻的两过水断面仍然适用。当然，非恒定管流中流速与流量都要随时间改变。

上述总流的连续性方程是在流量沿程不变的条件下导得的。若沿程有流量汇入或分出，则总流的连续性方程在形式上需作相应的修正。如图3.10所示的情况，有

Q1=Q2+Q3　　（3.12）

【例3.1】　图3.11表示一个三通管道中恒定有压水流，各管段均为变直径管道。已知：过水断面1—1、2—2、3—3和4—4处的管径分别为d1，d2，d3和d4，过水断面1—1和4—4的断面平均流速分别为v1和v4。求通过过水断面3—3和4—4的流量Q3和Q4以及断面2—2和3—3的断面平均流速v2和v3。

【解】　由于过水断面1—1及4—4的直径及断面平均流速为已知量，则可计算两断面所通过的流量：

取过水断面1—1到3—3和4—4之间的空间为控制体，则根据连续性方程有

Q1=Q3+Q4

所以 　　

于是，过水断面3—3的断面平均流速为

将Q3值代入得

又以过水断面1—1到2—2之间的空间为控制体，则有

Q1=Q2

得2—2断面的断面平均流速为