3.1　描述液体运动的两种方法

描述液体运动的方法有拉格朗日（J.L.Lagrange）法和欧拉（L.Euler）法两种。

3.1.1　拉格朗日法

拉格朗日法是以液体运动质点为对象，研究这些质点在整个运动过程中的轨迹（称为迹线）以及运动要素随时间的变化规律。每个质点运动规律的总和就构成了整个液体运动的规律，拉格朗日法与一般固体力学中研究质点系运动的方法相同，所以这种方法又可叫作质点系法。

不同液体质点的轨迹及运动要素的变化规律是不同的，通常设某质点在初始时刻t=t0时的空间坐标为a、b、c（称为起始坐标），则它在任意时刻t的运动坐标x、y、z可表示为确定这个质点的起始坐标与时间变量的函数，即

　　 （3.1） 　　

变量a，b，c，t统称为拉格朗日变量。显然，对于不同的质点，起始坐标a、b、c是不同的。根据式（3.1），将某质点运动坐标时间历程描绘出来就得到该质点的迹线。

在直角坐标中，给定质点在x，y，z方向的流速分量ux，uy，uz，可通过求相应的运动坐标对时间的一阶偏导数得到，即

　　 （3.2） 　　

给定质点在x，y，z方向的加速度分量ax，ay，az，可通过求相应的流速分量对时间的一阶偏导，或求相应的运动坐标对时间的二阶偏导得到，即

　　 （3.3） 　　

由于液体质点的运动轨迹非常复杂，用拉格朗日法分析每个质点的流动，在数学上会遇到很多的困难，同时实用上一般也不需要知道给定质点的运动规律，所以除少数情况外（如研究波浪运动），水力学通常不采用这种方法，而采用较简便的欧拉法。

3.1.2　欧拉法

欧拉法是把液体当作连续介质，以充满运动质点的空间——流场为对象，研究各时刻流场中不同质点运动要素的分布与变化规律，而不直接追踪给定质点在某时刻的位置及其运动状况。

用欧拉法描述液体运动时，运动要素可表示为空间坐标（x，y，z）和时间t的函数。变量x，y，z，t统称为欧拉变量。因此，各空间点的流速所组成的流速场可表示为

　　 （3.4） 　　

各空间点的压强所组成的压强场可表示为

p=p（x，y，z，t）　　（3.5）

加速度应是速度对时间的全导数。注意到式（3.4）中x，y，z是液体质点在t时刻的运动坐标，对同一质点来说它们不是独立变量，而是时间变量t的函数。根据复合函数求导规则，得

式中　

故

　　 同理

（3.6）

式（3.6）右边第一项，，表示通过固定点的液体质点速度随时间的变化率，称为当地加速度；等号右边后三项反映了在同一时刻因地点变更而形成的加速度，称为迁移加速度。所以，用欧拉法描述液体运动时，液体质点的加速度应是当地加速度与迁移加速度之和。例如，由水箱侧壁开口并接出一根收缩管（图3.1），水经该管流出。由于水箱中的水位逐渐下降，收缩管内同一点的流速随时间不断减小；另一方面，由于管段收缩，同一时刻收缩管内各点的流速又沿程增加。前者引起的加速度就是当地加速度，后者引起的加速度就是迁移加速度。