2.3　作用在平面壁上的静水总压力

前几节讨论了静止液体中的压强分布规律及对压强的测量。在许多实际工程中，还需确定平面静水总压力，也就是求解受压面上所受的静水总压力的大小、方向和作用点。

求平面上的静水总压力有两种方法：解析法和图解法。这两种方法都是根据静水压强分布规律来求解的。解决实际问题时，究竟采用哪种方法应根据具体情况而定。

2.3.1　解析法

解析法是根据力学和数学的分析方法来求平面上静水总压力的一般计算方法。

如图2.10所示，MN为一任意形状的平面，倾斜放置于水中任意位置，与水面成倾角α。该平面的左侧受水压力作用，液面压强为当地大气压强。设该平面面积为A，形心位于C处。

取平面MN的延伸面与水面的交线为ox轴，方向垂直纸面向里，oy轴沿着平面MN的倾斜方向向下。为使受压平面MN能展示出来，将其绕oy轴旋转90°。

2.3.1.1　静水总压力的大小

在平面MN上任取微小面积dA，其中心在水面以下的深度为h，纵坐标为y，该点的静水压强P=γh，则作用于dA上的静水压力为：

dP=pdA=γhdA

由于受压面是平面，每一微小面积上作用的静水压力dP的方向是相同的，因此，作用于整个MN平面上的静水总压力P等于各微小面积dA上静水压力dP之和，根据平行力系求和原理，平面MN上的静水总压力P的大小为：

P=∫AγhdA=∫AγysinαdA=γsinα∫AydA

上式中∫AydA代表平面MN对ox轴的静矩，由理论力学可知，它等于平面面积A与其形心坐标yC的乘积，则有

P=γsinαyCA=γhCA=pCA　　（2.13）

式中　pC——受压面形心C处的静水压强；

hC——形心C点在液面下的淹没深度。

式（2.13）是求任意形状平面上的静水总压力的一般公式。该式表明，作用在任意倾角，任意形状平面上静水总压力的大小等于该受压平面面积与其形心处静水压强的乘积。形心处的静水压强就是整个作用面上的平均压强。应注意，若平面只有一部分淹没于水中，则受压面积和形心都是指淹没于水中的那一部分。

2.3.1.2　静水总压力的方向

静水总压力的方向沿着受压面的内法线方向。

2.3.1.3　静水总压力的作用点

静水总压力P的作用线与受压平面的交点称为静水总压力的作用点，又称为压力中心，常以D表示。如图2.10所示，P的作用点D位置可用坐标xD和yD来表示。

为了确定D的位置，必须明确其坐标xD和yD。

（1）yD的确定

根据理论力学中的合力矩定理，即合力对任意轴之力矩等于各分力对该轴之力矩的代数和，对ox轴取力矩，得：

PyD=∫AydP=∫AyγysinαdA=γsinα∫Ay2dA

式中∫Ay2dA为受压平面MN对ox轴的惯性矩，用Ix表示。故得：

PyD=γsinαIx

根据惯性矩平行移轴定理：任何平面图形对任何轴的惯性矩等于它对平行于该轴的形心轴的惯性矩与图形面积乘以两平行轴间距平方和，数学表达式为：

式中　IC——平面MN对通过形心C并与ox轴平行的轴的惯性矩，因此有

　　 由此得 　　 　　 （2.14）

上式为计算yD的常用公式，因等式右边恒大于0，故有yD>yC，即静水总压力作用点D总是位于受压平面的形心C点之下。特别地，当平面呈水平时，总压力的作用点与平面的形心相重合。

（2）xD的确定

作用点D的横坐标xD的确定方法与yD类似。在实际工程中，挡水平面一般多为轴对称的平面，如矩形、圆形等，这时，总压力P的作用点D必位于对称轴上。故当yD确定之后，总压力作用点D的位置也就确定了，故无需计算。表2.1列出对称平面图形面积A，形心yC与惯性矩IC的计算式。

【例2.1】　矩形平板闸门AB一侧挡水，如图2.11所示。已知长l=2m，宽b=1m，形心点水深hC=2m，倾角α=45°，闸门上缘A处设有转轴，忽略闸门自重及门轴摩擦力。试求开启闸门所需拉力。

【解】　作用在闸门上的总压力：

P=pCA=γhCA=9.8×103×2×2×1=39200（N）

　　 作用点位置： 　

T×lcos45°=P（yD-yA）

2.3.2　图解法

图解法就是利用静水压强分布图求解平面上静水总压力的方法。对于规则的平面，尤其是矩形平面上的静水总压力，则采用图解法较为方便。

图2.12为一任意倾斜放置的矩形平面ABEF，平面长为l，宽为b，上边缘与自由水平面平齐，水深为H。

（1）静水总压力的大小

可先作出受压平面的静水压强分布图如图2.12所示，此时便不难看出，作用于整个平面上的静水总压力P的大小为：

　　 （2.15） 　　

式中　A——受水压力作用的平面面积，而恰好为受压平面静水压强分布图的面积，令其为Sp，则上式为：

P=Spb=V　　（2.16）

可见，平面上静水总压力的大小等于作用在平面上的压强分布体的体积V。因此，在求解如图所示的矩形平面上静水总压力P的大小时，只需绘出作用于其上的静水压强分布图，就可很容易求得其静水总压力的大小。

（2）静水总压力的方向

总压力的作用方向垂直并指向作用面。

（3）静水总压力的作用点

静水总压力P的作用线必将通过静水压强分布图的形心并与作用面的纵向对称轴O—O相交于一点，这一点即为P的作用点D，称为压力中心，如图2.12所示。

【例2.2】　设有一铅直放置的水平底边矩形闸门，如图2.13所示。已知闸门高度H=2m，宽度b=3m，闸门上缘到自由表面的距离h1=1m。试用图解法计算静水总压力。

【解】　绘制静水压强分布图ABEF，如图2.13所示。根据式（2.15）可得静水总压力大小为：

静水总压力P的方向垂直于闸门平面，并指向闸门。压力中心D距闸门底部的位置e为：

其距自由表面的位置为：

yD=h1+H-e=1+2-0.83=2.17（m）