2.2 静水压强分布规律
2.2.1 静水力学基本方程
2.2.1.1 液体平衡的微分方程
在静止液体中任取一边长为dx、dy、dz的微小正六面体为隔离体，如图2.2所示。六面体处于静止状态，各方向的作用力相平衡。设其中心点O'（x，y，z）的密度为ρ，液体静水压强为p。现以x方向为例分析其受力情况。
图2.2 微小正六面体的平衡
如图2.2所示，在x轴方向上有两个受压面，中心点分别为M、N。因静水压强是空间坐标的连续函数，又dx为微量，故点M和N的静水压强，可按泰勒级数展开并略去二阶以上的各项微量，得：
由于六面体各面的面积微小，可以认为平面中点的静水压强即为该面的平均静水压强，于是可得作用在两微小面上的表面力分别为：
设作用在六面体上的单位质量力沿x、y、z轴方向的分量分别为X、Y、Z，则作用在六面体上的质量力在x轴方向的分量为：
X·ρdxdydz
根据液体平衡条件，在x方向上应有
化简上式并整理，并同理考虑y、z方向，得
（2.4）
上式为液体平衡微分方程，它由瑞士学者欧拉（Euler）于1775年首先导出的，故又称欧拉平衡微分方程。
将式（2.4）改写为：
（2.5）
该式的物理意义是：平衡液体中任一点的静水压强沿某一方向的变化率与该方向液体单位体积的质量力相等。
将式（2.5）依次乘以dx、dy、dz，等式左右两边相加，得：
由于静水压强是空间坐标的函数，即p=p（x，y，z），故上式左端为p的全微分dp，从而得到液体平衡微分方程的全微分形式：
dp=ρ（Xdx+Ydy+Zdz） （2.6）
2.2.1.2 静水压强的基本方程
设静止液体如图2.3所示，将直角坐标系的原点O置于容器底部，z轴竖直向上。这时，液体所受到的质量力只有重力，即：X=0，Y=0，Z=-g。将其代入式（2.6），得：
dp=-ρgdz=-γdz
或 
图2.3 重力作用下静止液体分布规律
对不可压缩均质液体，γ为常数，积分上式得：
（2.7）
式中 z——计算点在基准面以上的高度，称为位置高度或位置水头，表示单位重量液体具有的重力势能，简称位能；
——计算点到测压管液面的距离，称为压强水头或测压管高度，如图2.4所示，表示单位重量液体具有的压强势能，简称压能；
图2.4 
式中的各项意义
——基准面到测压管液面的距离，称为测压管水头，表示单位重量液体具有的总势能。
当静止液体液面的边界条件为自由液面时，即z=z0，p=p0，可由式（2.7）得积分常数
。代入式（2.7），整理得：
p=p0+γ（z0-z）
p=p0+γh （2.8）
式（2.7）和式（2.8）为两种不同形式表示的液体静水压强分布规律，均称为水静力学基本方程。
2.2.2 等压面
液体中，由压强相等的各点组成的面，称为等压面。在等压面上，p为常数，dp=0，代入式（2.6）得：
ρ（Xdx+Ydy+Zdz）=0
则 Xdx+Ydy+Zdz=0，ρ≠0 （2.9）
上式为等压面的微分方程。
等压面有如下两个性质。
①在静止或相对平衡液体中，等压面是等势面。
②等压面与质量力正交。根据这一性质，可由质量力的方向来判断等压面的形状。
常见的等压面有液体的自由表面（即液体与空气的交界面），平衡液体中不相混合的两种液体的交界面等。等压面是计算静水压强时常用的概念。
2.2.3 压强表示及测量
2.2.3.1 压强的表示方法
（1）绝对压强
以绝对（或完全）真空状态为起算点的压强称为绝对压强，用符号p'表示。
（2）相对压强
以当时当地大气压强为基准点计算的压强称为相对压强，又称计示压强或表压强，用符号p表示。绝对压强与相对压强之间相差一个当地大气压，如图2.5所示。
图2.5 各种压强之间的关系
p=p'-pa
（3）真空压强
绝对压强值总是正的，而相对压强值则可正可负。当某点的绝对压强p'小于当地大气压强pa时，该处相对压强p为负值，则称该点处于真空状态或负压状态。真空状态的真空程度用当地大气压pa与该点的绝对压强p'的差值来衡量，其差值称为真空压强，又称真空值，用符号pv表示。则真空压强与绝对压强、相对压强的关系为：
pv=pa-p'=|p|
2.2.3.2 压强的测量
（1）测压管
测压管是一根直径均匀的玻璃管，直接连在需要测量压强的容器上，最简单的测压管如图2.6（a）所示，读出测压管液面到测点的高度h，即得该点的相对压强p=γh，式中γ为测压管内液体的容重。
图2.6 测压管
在实际测量中，对于较小的压强值，为了提高精度，常采用倾斜式测压管如图2.6（b）。此时，标尺读数为l，铅直液柱高度为h，所以
P=γh=γlsinα （2.10）
（2）U形测压管
U形测压管是一个装有水银或其他界面清晰的工作液体的U形透明管，如图2.6（c）所示。测压时，管的一端与被测点A相连，另一端与大气相通。被测点A在压强的作用下，使U形管中水银的液面产生变化，形成一高度差Δh。U形管内液体的分界面1—2为等压面，故
pA+γh=γHgΔh
即 pA=γHgΔh-γh （2.11）
当被测点的压强为真空状态时，即pA<0时，按照同样的方法可求得A点的真空压强：
pA=γHgΔh-γh
此时，U形测压管中的液面是左侧高于右侧。
（3）比压计
比压计又称压差计，是直接测量液体或气体两点间压强差的装置。常用的比压计有水比压计、空气比压计（图2.7）和水银比压计（图2.8）。
图2.7 空气比压计
图2.8 U形管水银比压计
图2.8为比较常用的U形管水银比压计，如测量A、B两点的压差，使比压计左右两支管分别与被测点连接，在两点压差的作用下，比压计内的水银柱形成高差Δh，两点的高程差为ΔZ。因为N—N平面为等压面，于是：
pB+γBhB=pA+γpΔh+γA（ΔZ+hB-Δh） （2.12）
当γB=γA时，
Δp=pB-pA=（γp-γA）Δh+γAΔZ
2.2.4 液体静水压强分布图
静水压强分布图是表示受压面上各点压强（大小与方向）分布的图形。
静水压强分布图绘制规则如下：
①一定比例的线段长度表示点压强的大小；
②用箭头标出静水压强的作用方向，并与该处作用面垂直；
③受压面为平面的情况下，压强分布图的外包线为直线；当受压面为曲线时，压强分布图外包线为曲线。
实际工程中，一般只需绘出相对压强的分布图。此时的水静力学基本方程简化为p=γh，即静水压强与水深成线性关系。
不同的边界条件，静水压强分布图是不同的，但是必须遵循以下规则：
①静水压强的方向指向作用面的内法线；
②点压强的值与作用面的方向无关；
③点压强的大小由p=γh确定。
图2.9为各种情况的压强分布图。
图2.9 静水压强分布图