2.8 素集“乌兰现象”
美国数学家乌兰教授（S.Ulam）在一次参加科学报告会时，为了消磨时间，在一张纸上把1，2，3，…，100按逆时针的方式排成一种方形螺旋线，并标出了其中的全部素数。
他突然发现这些素数大都扎堆于一些斜线上。散会后，他在计算机上把1~65 000的整数排成逆时针方螺旋并打印出来。他发现这些素数仍然具有挤成一条直线的特性，这种现象在数学上称为“乌兰现象”。
后来，数学家们从“乌兰现象”中找到了素数的许多有趣性质。
2.8.1 方螺线中的素集线
设计程序，把整数序列1，2，3，4，…，n×n排列成n圈的方螺线数阵，1置放在中心位置，以后各整数依次按逆时针方螺线位置排列。
为清楚显示，方螺线上的素数用括号标注。
1. 设计要点
对于指定方阵的阶数n，设置i循环（i＝1，2，3，…，n×n），在循环中应用试商判别法判别整数i是否为素数，并用p数组元素标注素数：p[i]＝1，i为素数；否则p[i]＝0。
数字方螺线是从正中间开始的。随整数m的逐步增加，位置呈逆时针方螺线展开。给方螺线的各位置确定m的值是设计的关键所在。
为此，建立存储整数m的坐标值的2维数组a[x][y]。
对于输入的整数n，计算d＝n/2，d为n阶方螺线的圈数。方螺线的正中位置存储1，即a[d][d]＝1，中心位置不属于任何圈。
在第i（1~d）圈的四周分为右边、上边、左边与下边，相应分4步分别在条件循环中实施赋值操作。
（1）右边向上增长，x不变y递增1，整数m递增1，a[x][y]＝m；直至y＝d＋i转向。
while(y<d+i){m++;y++;a[x][y]=m;}
（2）上边向左增长，y不变x递减1，整数m递增1，a[x][y]＝m；直至x＝d-i转向。
while(x>d-i) {m++;x--;a[x][y]=m;}
（3）左边向下增长，x不变y递减1，整数m递增1，a[x][y]＝m；直至y＝d-i转向。
while(y>d-i){m++;y--;a[x][y]=m;}
（4）下边向右增长，y不变x递增1，整数m递增1，a[x][y]＝m；直至x＝d＋i转向。
while(x<d+i){m++;x++;a[x][y]=m;}
每一圈4边赋值完成后，通过x＋＋；y＝d-i；过渡至下一圈的起点。
在二重循环中输出a数组元素，即打印出方螺线方阵。
显示输出时，利用p数组识别素数，同时用括号把素数括起来，以区别于其他整数。
2. 乌兰现象程序设计
3. 程序运行示例与说明
构建n阶方阵,请确定n:13
13阶方螺线方阵:(见图2-2)
图2-2 素数1+2线的乌兰现象图
可以清楚地看到图2-2中素数沿斜线（图中只画出其中两条斜线）扎堆的乌兰现象。
这些“素集线”上除了大多数为素数1外，其他非素数如39，15、33、93，85，65等大多为两个素数之积，即陈景润研究哥德巴赫猜想所得1＋2中的2，是比较“接近素数”的整数。
同时，从图2-2中还可看到另一有趣的现象：奇数的平方数1，9，25，49，81等在下部半条斜线上，而偶数的平方数4，16，36，64，100等则在上部半条斜线上。
2.8.2 回旋层叠另版乌兰
图2-3 坐标系移动漫步示意图
回旋层叠方阵是另一个生动体现素数沿斜线扎堆的有趣方阵，而且更为简单，可以说是另版乌兰。
回旋层叠方阵在坐标系第一象限（包括x轴与y轴）按以下规律展开：它从原点（0，0）运动到（0，1），然后按图2-3中箭头所示方向展开，即
原点（0，0）→（0，1）→（1，1）→（1，0）→（2，0）→（2，1）→（2，2）→（1，2）→（0，2）…
行进路线上的每一个点有一个整数m，坐标原点的m＝0，以后每一步m递增1。
试构建n阶回旋层叠方阵，用括号标注方阵整数m中的素数。
1. n阶回旋层叠方阵设计要点
对于指定方阵的阶数n，同样应用试商判别整数i（1~d＝（n＋1）×（n＋1））是否为素数，并用p数组元素标注素数：p[i]＝1，i为素数；否则p[i]＝0，i为非素数。
为叙述方便，把方阵分成n层，并称x＝k或y＝k的这一“层”为第k（1~n）层，该层的“折点”坐标为（k，k）。折点把每一层分为水平段与垂直段。
同时，第k（1~n）层的两段的先后次序与k的奇偶有关。
奇数层：先水平段从左至右递增到“折点”，再垂直段从上至下递增到x轴（y＝0）。
偶数层：先垂直段从下至上递增到“折点”，再水平段从右至左递增到y轴（x＝0）。
设置i（1~n）循环，对第i层的两段中各点分别赋值。
（1）若i%2＞0，即在奇数层。
首先，通过y＋＋过渡到奇数层。
奇数层是先水平向右；过折点后再垂直向下。
在水平段，y坐标为i不变，x坐标与m递增1；直至x＝i即到折点为止。
while(x<i){x++;m++;a[x][y]=m;}
在垂直段，x坐标为i不变，y坐标递减1，m递增1；直至y＝0即到x轴为止。
while(y>0){y--;m++;a[x][y]=m;}
（2）若i%2＝0，即在偶数层。
首先，通过x＋＋过渡到偶数层。
偶数层是先垂直向上；过折点后再水平向左。
在垂直段，x坐标为i不变，y坐标与m递增1；直至y＝i即到折点为止。
while(y<i){y++;m++;a[x][y]=m;}
在水平段，y坐标为i不变，x坐标递减1，m递增1；直至x＝0即到y轴为止。
while(x>0){x--;m++;a[x][y]=m;}
同样，在二重循环中输出a数组元素，即打印出回旋层叠方阵。
显示输出时，利用p数组识别素数，用括号把素数括起来，以区别于其他整数。
2. 程序设计
3. 程序运行示例与说明
请输入方阵阶数n(n<100):12
输出的回旋层叠方阵的1+2线图如图2-4所示。
图2-4 回旋层叠方阵的1+2线图
从以上输出可以清楚地看到另版“乌兰现象”：图2-4中素数沿斜线扎堆（图中只画出其中两条），这些“素集线”，除了一部分为素数1之外，其他非素数如57、91，77，25、35等大多为两个素数之积，即比较“接近素数”的2。
从图2-4中还可看到另一个有趣的现象：所有偶数也聚集于它们的斜线之上，真可谓“泾渭分明”。
同时，奇数的平方数1，9，25，49，81等均相间于纵向坐标轴上，而偶数的平方数4，16，36，64等则相间于横向坐标轴上。
4. 富素斜线探索
考察图2-4中的3—5—13—19…这一素集斜线，开头10个点中8个是素数。另两个不是素数的两个点为57＝3×19，91＝7×13，也是比较“接近素数”的2。
同时，这一素集线的斜率为正，即斜线呈现递增态势，比方螺线分别向两头递增更为形象直观。
把这一素集线上的数表示成第m行的函数f（m），归纳得到：
f（m）＝m2＋m＋1（当m为奇数时）
f（m）＝m2＋m-1（当m为偶数时）
应用以上公式，可以非常方便地探求这一素集线上的1＋2分布，有兴趣的读者可自行设计程序探索，此处从略。