第57章 投影几何学

它的某些概念早在古希腊时期就曾经引起一些学者的注意。

基于绘图学和建筑学的需要，古希腊几何学家就开始研究透视法，也就是投影和截影。

早在公元前200年左右，阿波罗尼奥斯说：“我就曾把二次曲线作为正圆锥面的截线来研究。”

在4世纪帕普斯的著作中，出现了帕普斯说：“我发现了帕普斯定理。”

欧洲文艺复兴时期透视学的兴起，给这门几何学的产生和成长准备了充分的条件。

在文艺复兴时期，人们在绘画和建筑艺术方面非常注意和大力研究如何在平面上表现实物的图形。那时候，人们发现，一个画家要把一个事物画在一块画布上就好比是用自己的眼睛当作投影中心，把实物的影子影射到画布上去，然后再描绘出来。在这个过程中，被描绘下来的像中的各个元素的相对大小和位置关系，有的变化了，有的却保持不变。这样就促使了数学家对图形在中心投影下的性质进行研究，因而就逐渐产生了许多过去没有的新的概念和理论，形成了射影几何这门学科。

在17世纪初期，开普勒说：“我最早引进了无穷远点概念。”

十七世纪，当笛卡儿和费尔马创立的解析几何问世的时候，还有一门几何学同时出现在人们的面前。这门几何学和画图有很密切的关系。

迪沙格是一个自学成才的数学家，他年轻的时候当过陆军军官，后来钻研工程技术，成了一名工程师和建筑师，他很不赞成为理论而搞理论，决心用新的方法来证明圆锥曲线的定理。

1639年，迪沙格说：“我出版了主要著作《试论圆锥曲线和平面的相交所得结果的初稿》，书中他引入了许多几何学的新概念。他的朋友笛卡尔、帕斯卡、费尔马都很推崇他的著作，费尔马甚至认为他是圆锥曲线理论的真正奠基人。”

迪沙格说：“在我的著作中，把直线看作是具有无穷大半径的圆，而曲线的切线被看作是割线的极限，这些概念都是射影几何学的基础。用我的名字命名的迪沙格定理，“如果两个三角形对应顶点连线共点，那么对应边的交点共线，反之也成立”，就是射影几何的基本定理。”

1641年，帕斯卡说：“我发现了一条定理，就是内接于二次曲线的六边形的三双对边的交点共线。”

这条定理叫做帕斯卡六边形定理，也是射影几何学中的一条重要定理。

1648年，亚伯拉罕•博斯出版了一本著作，其中包含了著名的“笛沙格定理”：当两个三角形是透视时，则其对应边的交点共线。

1658年，帕斯卡写了《圆锥曲线论》一书，书中很多定理都是射影几何方面的内容。迪沙格和他是朋友，曾经敦促他搞透视学方面的研究，并且建议他要把圆锥曲线的许多性质简化成少数几个基本命题作为目标。帕斯卡接受了这些建议。后来他写了许多有关射影几何方面的小册子。

不过迪沙格和帕斯卡的这些定理，只涉及关联性质而不涉及度量性质(长度、角度、面积)。但他们在证明中却用到了长度概念，而不是用严格的射影方法，他们也没有意识到，自己的研究方向会导致产生一个新的几何体系射影几何。他们所用的是综合法，随着解析几何和微积分的创立，综合法让位于解析法，射影几何的探讨也中断了。

射影几何的主要奠基人是19世纪的彭赛列。他是画法几何的创始人蒙日的学生。蒙日带动了他的许多学生用综合法研究几何。

由于迪沙格和帕斯卡等的工作被长期忽视了，前人的许多工作他们不了解，不得不重新再做。

施泰纳说：“我研究了利用简单图形产生较复杂图形的方法，线素二次曲线概念也是我引进的。

施陶特说：“我为了摆脱坐标系对度量概念的依赖，我通过几何作图来建立直线上的点坐标系，进而使交比也不依赖于长度概念。由于忽视了连续公理的必要性，我建立坐标系的做法还不完善，但却迈出了决定性的一步。”

另—方面，运用解析法来研究射影几何也有长足进展。

莫比乌斯说：“我创建一种齐次坐标系，把变换分为全等，相似，仿射，直射等类型，给出线束中四条线交比的度量公式等。”

接着，普吕克说：“我引进丁另一种齐次坐标系，得到了平面上无穷远线的方程，无穷远圆点的坐标。我还引进了线坐标概念，于是从代数观点就自然得到了对偶原理，并得到了关于一般线素曲线的一些概念。”

在19世纪前半叶的几何研究中，综合法和解析法的争论异常激烈；有些数学家完全否定综合法，认为它没有前途，而一些几何学家，如沙勒，施图迪和施泰纳等，则坚持用综合法而排斥解析法。还有一些人，如彭赛列，虽然承认综合法有其局限性，在研究过程中也难免借助于代数，但在著作中总是用综合法来论证。他们的努力使综合射影几何形成一个优美的体系，而且用综合法也确实形象鲜明，有些问题论证

882年帕施说：“我建成第一个严格的射影几何演绎体系。”

射影几何学的发展和其他数学分支的发展有密切的关系，特别是“群”的概念产生以后，也被引进了射影几何学，对这门几何学的研究起了促进作用。

克莱因说：“把各种几何和变换群相联系。”

克莱因说：“我在埃尔朗根纲领中提出了这个观点，并把几种经典几何看作射影几何的子几何，使这些几何之间的关系变得十分明朗。”

这个纲领产生了巨大影响。但有些几何，如黎曼几何，不能纳入这个分类法。后来嘉当等在拓广几何分类的方法中作出了新的贡献。