2.7 “意见不一致点”的确定

“意见不一致点”（v1, v2）如何确定呢？有时候，它是自然生成的。譬如，两人分蛋糕的博弈，按照游戏规则，如果两个人无法达成合作协议，双方摆出一副鱼死网破的架势：“如果你想多得，宁可鸡飞蛋打”，最后结果一定是人人颗粒无收，于是（v1, v2）=（0,0）。

在许多场合，倘若双方谈不拢，则可能进入一场非合作博弈，如果这个非合作博弈存在唯一的纳什均衡，那么相应的盈利向量作为“意见不一致点”应该是个合理的选择。“囚徒困境”就是一个例子。两人为了合作从而订立了“攻守同盟”协议，就有可能达到（-1, -1）这样最好的效用配置，但是倘若无法达成协议，随即面临的是非合作博弈，为了极大化个人的效用，其结果应该是（坦白，坦白），因此效用配置（-8, -8）就是一个“意见不一致点”。

利用非合作博弈中的唯一的纳什均衡来确定“意见不一致点”，存在两个缺陷：

（1）如果唯一的纳什均衡恰好又是Pareto最优，可能不适合选择为“意见不一致点”。我们不妨先观察一个例子。

例2.5 策略型博弈如图2.5所示：

图2.5的博弈，合作将产生最大的效用1 +1 =2 =v12，只要有一方偏离或不合作，双方都只能得到0。因此，很自然地，（0,0）可以取为（v1, v2）。但是，这个博弈唯一的纳什均衡是（合作，合作），如果我们将相应的“盈利向量”（1,1）取为（v1, v2），那么这个合作博弈就成为非实质性的两人讨价还价问题了。

（2）多重纳什均衡的情况，取哪个均衡为好呢？当然，对于实质性的两人讨价还价问题，人们可以提出取“焦点均衡”。下面我们有这样的一个例子，它至少拥有两个纯策略的纳什均衡，但是你实在无法说出哪个是“焦点均衡”。我们认为，在这个例子中，混合策略的纳什均衡相应的“盈利向量”不失为“意见不一致点”的一个合适的选择。

例2.6 策略型博弈如图2.6所示：弈有一个混合策略纳什均衡，局中人的期望盈利各为。可以令就是我们需要寻找的（v1, v2）。由于两人合作的最大可能共有盈利为v12=3 +4 =7，由（2.11），得。这是一个合理的结果，尽管（4,3）和（3,4）都是均衡盈利向量，但是出于极大化个人效用的角度，谁都希望自己多得。合理的协商结果应该是，在（A, A）和（B, B）之间确定一个，然后双方平分总收入。

从非合作博弈的角度，这个博弈有两个纯策略纳什均衡（A, A）和（B, B），它们对应的盈利向量为（4,3）和（3,4）。看来，任何一个都不适合作为（v1, v2），因为“4”使得其中的一个局中人得到自己的最高盈利。显然，任何的不合作行动都会使他们一无所有。不过，博

这个例题很有趣，如果我们取v=（0,0），得到的讨价还价结果仍然是。其实，只要v1=v2≤3，讨价还价结果都一样。然而（0,0）可真的是底线中的底线了，作为理性人，在（A, A）和（B, B）之间的协商以及在协商结果的分配方面的谈判失败之后，不会轻易地领受最低待遇0，而极大化个人效用的结果最少也是，因此我们认为在这里v=是一个合理的选择。

确定“意见不一致点”的另一种方法是利用最小最大值：设σ1与σ2分别是局中人1与2的混合策略，u1（σ1, σ2）和u2（σ1, σ2）分别是他们在策略剖面（σ1, σ2）下的盈利，令

（v1, v2）有可能成为合理的一个“意见不一致点”。最小最大值反映了这样的思路：局中人在试图极大化自己的效用时，不得不考虑对方也在采取极大化他的效用的策略，对方每取一个策略时自己有一个最大的效用，因此这个所谓的“最大效用”是随着对手的策略而发生变化的，取这个变化函数的最小值应当是最为“保险”的“底线”。在谈判过程中以这个最小最大值作为“砝码”，有点“退一万步来说”的味道，对于某些场合某些局中人来说，有“太低”的感觉。

其实，世界上的任何事情都不是绝对的，如果v12远远大于v1和v2，也许谈判的双方不会将“底线”看得太重。合作的前景是“大西瓜”，手中的一粒芝麻不应当成为妨碍合作的筹码，这是任何一个理性人都明白的事。过低的v1和v2反而是促进合作的动力。

不管怎么样，我们已经明白，“意见不一致点”很有可能会影响到谈判的结果和达成协议的前景。因此，局中人会受到激励在形成协议之前提高自己的vi和降低对手的vj，以增加谈判中讨价还价的资本。如果自己的vi过低或对手的vj过高，肯定不利于自己在讨价还价中的结果。在实力允许或条件可能的时候，在讨价还价的谈判之前，局中人有发动一场“战争”的动机和动力。这样一来，博弈建模可以分为展开型的两个阶段：第一阶段确定双方的vi和vj，在这个基础上，展开第二阶段的讨价还价。毫无疑问，第一阶段的结果将影响到第二阶段的讨价还价的策略、手段和最后的结果。“为了消灭战争，不得不进行一场战争”就揭示了类似的道理。“为了消灭战争”，就是希望和平，希望合作，为了缔结和平合作的协议，有必要提高自己在谈判中的地位和筹码，那么很有可能“不得不进行一场战争”。

战争的双方，如果谁也无法吃掉对手，谈判是解决冲突和争端的最优途径。假如双方用谈判来停战并划分军事分界线，倘若“领土”视作常量，那么谈判就是一个具有可转移效用的两人讨价还价问题。只要自己具备实力，谈判之前发动一次战役将自己占领的阵地大大地往前推进，无疑会增强在谈判中的地位。解放战争中的平津战役是一个典型的案例，包围北京，旨在和平解放而不希望武力解决（这是最好的“合作”，因为这样可以使北京的名胜古迹和几千年的中华文化免遭破坏），但是单纯想达到这一点是有一定难度的。打下天津，切断北京守军的退路，使得和平谈判的可能性大大增加，事实上，正是通过先解放天津，最终使得北京获得了和平解放。20世纪50年代的朝鲜战争也出现过这种情况，长期残酷的战争使得和平谈判成为大势所趋，为了使军事分界线至少维持在战争之前的“三八线”，中国人民志愿军不得不发动第五次战役，打过“三八线”，从而提高了自己的谈判筹码。

“意见不一致点”的确定通过谈判前的某种对抗与冲突得以解决，体现了一个从非合作到合作的博弈过程。然而，用非合作的办法去确定“意见不一致点”，有时候未必一定要实现一场冲突或者发动一次战役，在许多情况下，“威胁”与“承诺”常常可以取而代之。

如果考虑使用威胁以试图“迫使”合作成功，那么一旦觉得无法达成合作协议，局中人将会各自实施自己发出过的威胁（否则，威胁将成为“空头”的，起不到威胁的作用）。不同的威胁导致不同的“意见不一致点”，从而导致不同的结局。可以通过图2.7来说明：

在图2.7中，对应“意见不一致点”z1的讨价还价解是x，对应“意见不一致点”z2的讨价还价解是y。显然，局中人1希望通过威胁使意见不一致点往z2靠，因为解y对自己有利，而局中人2则希望通过威胁使意见不一致点尽量往z1靠，因为解x对局中人2有利。

假设局中人1的威胁为τ1，局中人2的威胁为τ2，由这两个威胁组成的“策略对”（τ1, τ2）随着τ1与τ2的变化产生不同的“意见不一致点”，理性的局中人都希望意见不一致点尽可能地对自己有利，于是，事实上我们先面临一个非合作的策略型博弈。假设Γ为两人有限策略型博弈，即

其中，Ci（i=1,2）为局中人i的策略集，ui为局中人i的盈利函数。在具有可转移效用的情况下，令F是由Γ导出的可行集：

在谈判或者仲裁之前，局中人i从混合策略集Δ（Ci）中选取策略作为威胁τi，于是两人讨价还价问题相应于威胁（τ1, τ2）的“意见不一致点”将为（u1（τ1, τ2）, u2（τ1, τ2））。在这个“意见不一致点”（u1（τ1, τ2）, u2（τ1, τ2））下求两人讨价还价的解，记为（w1（τ1, τ2）, w2（τ1, τ2）），沿用我们已经引入的记号，当i=1,2时，有

（w1（τ1, τ2）, w2（τ1, τ2））其实是在威胁（τ1, τ2）下的两人讨价还价的解。研究合作博弈，是因为合作有着非常好的前景，采用威胁（τ1, τ2），无非是想在分配合作成果时为自己争得先手。所以，在合作对双方都有较大好处的前提下，合作是第一位的，威胁的实施与否相对地是第二位的。既然威胁未必实施，如何评估威胁是否有效呢？最后的合作协议——（w1（τ1, τ2）, w2（τ1, τ2））是最好的评估办法。理性的局中人一定会采用使自己的wi（τ1, τ2）达到极大化的威胁τi，譬如，对于局中人1来说，在给定对手（期望）威胁τ2的情况下，从自己的混合策略集Δ（Ci）中选取τ1使得

同样，τ2的选取使得在给定τ1下，有

显然，只有这样的τi才体现出局中人i的理性，因此，干脆称这样得到的（τ1, τ2）为一对理性威胁。可见，理性威胁实际上是如下“威胁博弈”的纳什均衡：

问题在于，“理性威胁”是否一定存在，也就是说，在威胁博弈中是否存在纳什均衡。与一般博弈中的纳什均衡存在性的证明一样，这里的纳什均衡的存在性条件与证明需要借助于著名的KaKutani不动点定理（有兴趣的读者可以参看：《博弈论》（第三章的第四节），施锡铨编著，上海财经大学出版社，2000年）。在本书中不作介绍。

下面构造一些简单的例子来说明不同方法确定了不同的“意见不一致点”，产生了不同的纳什讨价还价解。

例2.7 考虑如图2.8的两人策略型博弈Γ：

注意到在策略型博弈Γ中，如果局中人1与2合作，实施结局（a, A）或（b, A），那么可以得到最大的共同盈利10，即v12=10。因此合作协议应该是对10的分配。这是一个可转移效用的合作博弈。一旦确定了“意见不一致点”v=（v1, v2），利用式（2.11）就可以得到纳什讨价还价解。

先看从Γ导出的威胁博弈Γ*，考虑纯策略形式，对于每一对纯策略组合，以相应的“盈利对”作为“意见不一致点”，计算出对应的w1和w2：

对（a, A），盈利向量为（10,0），故；

对（a, B），盈利向量为（7,1），故；

对（a, C），盈利向量为（-4, -4），故；

对（b, A），盈利向量为（0,10），故；

对（b, B），盈利向量为（4,0），故；

对（b, C），盈利向量为（-5, -5），故。

将上述计算结果排列成如图2.9的纯策略形式：

照例，Γ*应该包含混合策略的，然而，简单的数学推导可知，由图2.8的Γ中的混合策略所产生的“盈利对”作为“意见不一致点”，所得到的（w1, w2）恰好是由图2.9中两个局中人以“与图2.8中原先采用的混合策略”一样的混合策略所产生的（w1, w2）。因此，这里我们不妨考虑图2.9的Γ*，其纳什均衡是（a, C），所以，以（-4, -4）作为“意见不一致点”，其纳什讨价还价解为（5,5）。（当然，有人会说，以（-5, -5）作为“意见不一致点”，可以得到同样的讨价还价解。但是，必须看到，（-4, -4）优于（-5, -5），谁会把谈判的“底线”故意往下降低呢？）

现在再考虑Γ，显然它有唯一的纳什均衡（a, B），相应的盈利向量（7,1）可以考虑作为“意见不一致点”，得到的纳什讨价还价解为（8,2）。

如果我们考虑最小最大值方法，局中人1与2的最小最大值都是（-4），因此相应的纳什讨价还价解为（5,5）。