2.5 讨价还价双方的效用比较

回顾一下，两人讨价还价问题应该基于如下事实：首先是两人合作就有巨大效益，这是促使双方合作的一种诱惑；其次是对产生的巨大效益进行分配。两人分蛋糕可算是一个“老生常谈”的例子。谈判成功，双方都可以得到蛋糕，谈判失败则两手空空回家。聚焦理论指出，每人分得半个蛋糕，“各得一半”是许多人共同认可的准则，这个准则是在双方“地位相同，条件相等”情况下最常见的“简单平均主义”，或者说，每个人比起自己单干时所增加的盈利量应该相等，这是绝大多数人能够接受的准则。用数学公式表示，为

在分蛋糕的例子中，v1=v2=0，因此，。

平均主义焦点之所以被大家认可，常常因为谈判的双方互相之间对得益要做比较，平均主义关心的是个体的效用，在不同的局中人之间没有任何交叉补偿。分蛋糕例子中的纳什讨价还价解x=（x1, x2）需要满足x1+x2=1且使纳什积x1x2达到最大值，答案一定为，它体现了平均主义思想。

在现实生活中，绝对平均主义未必是最合理、最公正和最切合实际的。比如两个人合作抬一件重物转移到另外一个地方，任何人无法单独完成这件工作，因此，合作是有成效的。假如他们的身高一样，按照绝对平均主义，系重物的绳索应当位于杠棒的中间，体力平均分摊。但是，如果其中有一个人非常瘦弱，平均分摊体力的做法使他直不起腰来，那么重物只能留在原地。为了合作取得成功，看来体力不能绝对地平均分摊，重物向比较强壮的人那儿移动一点就可以解决问题。就像分吃蛋糕，未必一定要各人一半，胃口好的人吃六成，另一个人享用四成，也许达到皆大欢喜的效果。这样的“四六开”分配肯定不是绝对平均主义，而是一种加权平均，即，不是x1=x2，而应当呈现0.4x1=0.6x2。一般情况，我们可以把（2.8）改写为：存在常数λ1＞0, λ2＞0，使得

只要λ1≠λ2,（2.8）与（2.9）显然就不是一回事。

从仿射变换的角度看待上述问题。给定λ1＞0, λ2＞0（λ1≠λ2）和γ1, γ2，对任意的y=（y1, y2），令

对于两人讨价还价问题（F, v），在该线性映射下，F的映像为L（F）：

L（F）={L（y）|y∈ F}

且

L（v）=（λ1v1+γ1, λ2v2+γ2）

那么，（L（F）, L（v））就是（F, v）经过仿射变换之后得到的两人讨价还价问题。它的“通常意义”下的平均主义解L（x）应当满足

λ1x1+γ1-（λ1v1+γ1）=λ2x2+γ2-（λ2v2+γ2）

即

L（x）是（L（F）, L（v））的平均主义解，我们称x为（F, v）的λ-平均主义解（λ-egalitarian solution），它满足（2.9）。它与通常的平均主义解的区别在于λ≠（1,1），正因为此，所以λ-平均主义解不可能满足刻度同变性。

考虑平均主义，是基于局中人关心的是“个人效用”，他们比较的就是“个人效用”的大小，有点“生怕自己吃亏”的味道，只要自己相对地“不吃亏”就行，至于整体的效用就管不了那么多了。与此相反的另一种效用比较是强调整体的效用，称为“功利主义”。所谓“功利主义”，主要强调“个人效用只不过是社会（整体）效用生成的手段”，主张“为了提高社会的整体福利或效用，有时候甚至可以牺牲某些局中人的个人效用”。当然，这里所指的“牺牲”未必一定会发生对个体不利的事件，更有可能的是某些局中人的个人效用的增长趋于缓慢，不如整体那样的增长速度。例如，在非合作博弈中，古诺双寡头垄断竞争强调的是个体效用，但与之对应的卡特尔模型则强调了整体效用。

对于两人讨价还价问题（F, v），其功利主义解就是在F中寻求一个配置x，使得

对于仿射变换（2.10）下生成的两人讨价还价问题（L（F）, L（v）），其功利主义解L（z）（z=（z1, z2）∈F）应当满足

鉴于γ1, γ2是常数，因此相当于我们在F中寻求一个配置（z1, z2），使得

L（z）是（L（F）,L（v））的功利主义解，称z为（F, v）的λ-功利主义解（λ-utilitarian solution）。在λ≠（1,1）情况下，式（2.12）与式（2.14）是两回事。同样，我们也发现λ-功利主义解不满足刻度同变性。

λ-平均主义解和λ-功利主义解在现实中有着应用价值，我们在介绍λ-平均主义解时就提到过有关事例，但是，它们不满足刻度同变性却是一个缺陷，因为刻度同变性是为人们都不难接受且没有什么异议的公理。以λ-平均主义解为例，假如x=（x1, x2）是（F, v）的λ-平均主义解，那么λ1（x1-v1）=λ2（x2-v2），经过仿射变换之后，由于yi=αixi+βi，因此，这里。因为λ1α1（x1-v1）≠λ2α2（x2-v2），如果我们令，那么显然有，也就是说，x=（x1, x2）的映像y是仿射变换之后的两人讨价还价问题的λ*-平均主义解，而不是λ-平均主义解。倘若我们不管λ向量是否相同，把所有的λ-平均主义解都看成是来自“同一族的讨价还价解”，那么自然地解决了λ-平均主义解的刻度同变性。因为此时x=（x1, x2）和它的仿射变换映像y都是λ-平均主义解，只不过它们的λ并不相同。用这种办法，虽然解决了解的刻度同变性，但是这样的做法是否合理呢？因为我们谈论平均主义解或者λ-平均主义解，最重要的关键是去比较局中人从合作中获得的效用。我们可以想象这些局中人在运用λ-加权效用的“量度”去比较他们的效用，从决策论的角度，λ-加权效用“量度”与原先的（1,1）——效用“量度”是等价的。

对于λ-功利主义解，同样地把所有的λ-功利主义解归为“同一族的讨价还价解”，不管它们的λ是否相同。于是，也解决了λ-功利主义解的刻度同变性问题。

只要有两人讨价还价问题，就一定会涉及两个局中人之间关于效用的比较，尽管博弈中的局中人都是理性的，他们尽量地使自己的效用极大化，但是，互相所得“蛋糕”大小的比较本身就构成一种激励。在考虑局中人之间效用比较时，究竟是采用平均主义还是功利主义，这毕竟有着很大的差别，因为前者是强调个人的效用，而后者则强调整体的利益。不过，假如我们面临的讨价还价问题（F, v）是实质性的，那么，这个问题就显得无所谓了，因为对于任何一个实质性的讨价还价问题（F,v），一定存在一个λ，使得（F,v）的λ-平均主义解同时也是λ-功利主义解。我们称这样的λ为（F, v）的自然刻度因子（natural scale factors）。这是一个非常有趣的结果，只要（F,v）是实质性的（因此合作有着美好的前景，并且对双方都会有利），那么一定存在一个解，它既考虑到局中人之间某种程度的利益均等，又考虑到某种程度上使共同利益达到最高。更令人惊喜的是，这个在自然刻度因子下的解，实际上就是我们在前面介绍的纳什讨价还价解。可见，纳什讨价还价解不仅仅是完全依赖于纳什公理体系，而且它把理性局中人的利益均等与整体利益达到Pareto最优这两个看似对立的事情自然地融合在一起。这个结果阐述在下面的定理中。

定理2.2设（F, v）是一个实质性的两人讨价还价问题，F中的配置x（x≥v）是（F, v）的纳什讨价还价解，当且仅当，存在正数λ1＞0和λ2＞0，使得

同时成立。

证明 为了论证这条定理，必须依据纳什讨价还价解的定义。考虑一个配置x:x1≥v1且x2≥v2，点x处的纳什积等于（x1-v1）（x2-v2），在（y1, y2）平面上，纳什积等于（x1-v1）（x2-v2）的双曲线记为H（x, v）：

配置x是（F,v）的纳什讨价还价解，当且仅当，双曲线H（x,v）与F（的边界）在x相切。（我们将H（x,v）与F只有x为交点也称为“相切”，因为至少在x处是有切线的！）并且必定有x＞v。求在x处双曲线H（x,v）的斜率：对方程（y1-v1）（y2-v2）=（x1-v1）（x2-v2）的两边关于y1求导（不妨把y2看做y1的函数），得到的“右上方”），这意味着。

故双曲线H（x, v）在x处的斜率为

最后一个等号上面有个“∧”，它表示“记作”或者“定义为”的意思。因此，存在两个正数λ1, λ2使得

按照斜率（2.8），双曲线H（x, v）在点x=（x1, x2）处的切线方程应为

经整理得到λ1y1+λ2y2=λ1x1+λ2x2。而配置x是（F, v）的纳什讨价还价解的充分必要条件是直线λ1y1+λ2y2=λ1x1+λ2x2与F（的边界）在x处“相切”（或至多只在x这一点相交），因此，F中的其他所有的点都位于切线的“左下方”（因为双曲线H（x, v）位于切线

例2.4 设（F, v）是两人瓜分30美元的一个讨价还价问题，如果两人无法达成协议，那么大家一无所有，倘若能达成协议，那么局中人1得y1，自然地，局中人2得到30-y1。显然，这是一个实质性的两人讨价还价问题。但是，他们两个对于各自效用的计算有着各自不同的观点。局中人1是风险中性的，因此他关于自己的效用计算是基于“线性效用”，但是，局中人2属于风险厌恶型，采用一个正比于其所得货币的平方根的效用刻度。于是，可以构造（F, v）：

注意，这里的（y1, y2）不是局中人分得的货币配置，而是指他们的效用配置，因此，效用的纳什积为y1y2。已经知道，纳什讨价还价解一定位于F的边界上，从而我们仅需考虑边界上的点。为使达到最大值，对y1求导并令导数等于0：

得到y1=20。即，局中人1分得20，局中人2分得10。效用配置的纳什讨价还价解为。现在，我们求相应的自然刻度因子：，以y1=20代入，得到。因此，自然刻度因子，或为（1,6.325）。

如果我们将局中人2的效用改为而不是最初提出的，局中人1的效用不发生改变。这个两人讨价还价问题就转化为{G,（0,0）}，其中

在{G, （0,0）}中，纳什讨价还价解为效用配置（20,20），相应的货币配置仍然为（20,10）。但是，效用配置（20,20）既是平均主义解又是功利主义解。

在结束这个例题的时候，我们再一次指出，纳什讨价还价解针对的是两个局中人的效用配置，而不是他们分得的货币配置。