§2.1 单体问题中的格林函数

一、不含时函数

描述单粒子运动的力学量通常可以用线性厄米算符来表示．设有一个不含时的线性厄米算符（r），它的本征态方程为

对应于算符，就可定义出它的格林函数G（z, r, r＇），

显然，G可以用的正交完备的本征函数集|φn〉来表示

如果算符是哈密顿算符H, λn就是能量本征值En．如果算符的所有本征态|φn〉已知，则从（2.1.3）式可以得到对应于的格林函数．

厄米算符的本征值λn是实数，它的谱有分立的和连续的两种．在计算格林函数时，对分立谱可以直接用（2.1.3）式中的求和，而对连续谱则需要将求和过渡到积分．如图2.1.1所示，如果是分立谱，则G在z=λn有孤立奇点；如果是连续谱时，则G在实轴上出现割缝，上（下）岸分别对应着由上（下）半平面趋近于实轴时定义的格林函数G±，

如果算符是哈密顿算符H，则上下岸之差为

当r=r＇时，上下岸的虚部分别为

所以其虚部的对角元之和为

其中N（E）是态密度．

以上是在坐标表象中的格林函数，在一般的表象中，格林函数可写成算符形式，

其中tr是求秩（对角元之和）的意思．

格林函数的用途主要有三处：

（1）描述它所对应的齐次本征态方程的性质．我们看到极点的位置对应于本征值，留数对应于本征函数，秩虚部对应于态密度．因此，求出了格林函数也就得到了对本征态的完整的描述．

（2）可以利用对应于齐次方程的格林函数来解非齐次方程

可以把方程的解u（r）用格林函数来表示

其中G, λ, φ（r）分别是对应于（r）齐次方程的格林函数、本征值和本征函数，C是一个常数．

（3）由已知的对应于（r）的格林函数G0，求出对应于的格林函数G，从而给出关于（r）问题的解的性质（详见下节）.

二、含时函数

对于含有时间微商的方程，我们可以定义相应的含时格林函数．例如，一级含时格林函数的定义是

它与不含时的格林函数（2.1.3）式有密切的关系．为了书写简化，引进

并做傅氏展开

代入（2.1.11）式就得到

把它与（2.1.2）式对比，就可看出含时格林函数的傅氏系数g（ω）就是不含时的格林函数G（E, r, r＇），其中．所以把不含时的格林函数G（E, r, r＇）代回（2.1.13）式就可推出含时的格林函数g（τ）.

但是应该注意的是，由于g（ω）在ω的实轴上有奇点或割缝，所以（2.1.13）式中对ω的积分只能沿着“岸”进行，这样视积分路径沿上岸或下岸之不同，就可以得到两个含时的格林函数

从中还可以定义

g+有时写作gR, g-有时写作gA，分别称为推迟的或趋前的格林函数，它们的积分路径如图2.1.2所示．

显然，它们的表达式分别是

其中θ（x）是阶梯函数，当x＞0时θ（x）≡1，当x＜0时θ（x）≡0．在计算这些积分时，为避免发散，当τ＞0时只能在E的下半复平面进行积分；而τ＜0时只能在E的上半复平面进行积分．

可以引入演化算符来理解含时格林函数的物理意义，定义演化算符U（t, t＇）为ψ（t）≡U（t, t＇）ψ（t＇）．由薛定谔方程可得，这样（τ）可以写成

在坐标表象可以用格林函数来表示波函数

很显然，它表示出粒子波函数由（r＇, t＇）到（r, t）的传播（演化）．因此格林函数有时又称为传播子（propagator）.

以上考虑的是一级含时格林函数，它与薛定谔方程的形式相应，广泛用于单电子量子力学问题．同样，我们还可以定义出二级含时格林函数

它可用于描述电磁波和处理克莱因-戈登（Klein-Gorden）方程．

概括起来，含时格林函数的主要用处有：

（1）由初始态φ（r0, t0）解齐次方程

可以得到解

（2）解非齐次方程

可以得到

（3）由对应于（r）的已知g0（τ）解含时的微扰方程

（4）将g±（τ）与场算符联系起来推广应用于场论和多体问题．

最后两点我们将在下面讨论．