2.3 二叉树定价模型
第二种期权定价模型是二叉树模型。二叉树模型既可以对股票期权进行定价，又可以对利率期权进行定价，而根据阶段的不同，又可以分为一阶段、两阶段和多阶段二叉树模型。
2.3.1 一阶段二叉树定价模型
一阶段二叉树对期权定价
二叉树期权定价模型做了两个基本假设：
（1）股价波动只有向上和向下两个方向。
（2）在整个考查期内，股价每次向上（或向下）波动的概率和幅度不变。
具体操作主要有以下几个步骤（见图8-46）。
图 8-46
（1）算出相应参数，股票价格上涨幅度u、下降幅度d、上涨概率πu、下降概率πd。
（2）分别算出一阶段后，上涨的股票价格S+=S×u和下跌的股票价格S-=S×d。
（3）算出期末不同股票价格对应的期权价值：
（4）再将不同的期权价值根据概率进行加权平均，再折现到0时刻，得到0时刻期权价值。
李老师说
考试时，如果题目只给了u或只给了d，可默认d×u=1，通过此关系算出另外一个参数。二叉树模型里面价格上涨或下跌的概率都是风险中性下的概率（risk-neutral probability）。在了解风险中性概率之前，我们先来理解什么叫风险中性。
假设投资者面临两个方案：
（1）拿到既定的一元钱。
（2）参与抛硬币游戏，正面朝上得两元钱，反面朝上不拿钱。
其实，两种方案的期望收益是相同的。如果投资者选择第一个方案，说明该投资者是风险厌恶的，因为他喜欢确定性收益；如果投资者选择第二种方案，说明该投资者是风险偏好者，他愿意承担风险以获得更大收益；如果投资者对于两种方案无所谓，那么就说明该投资者是风险中性的投资者。
风险中性思维体现在二叉树模型中就是：对于投资者，股票未来价格上涨或下降的不确定性，跟持有现在的股票是一样的。也就是说，股票未来上涨或下跌，将其折现到0时刻，跟0时刻的股票价值应该是相等的。用公式表示为：
假设一期为一年，T=1，代入公式中，就可以求出风险中性下的概率：
【例题】一阶段二叉树模型——看涨期权定价
请根据以下条件计算看涨期权的价格。
·标的股票当前的市场价格为25美元。
·价格上涨的幅度为1.2，下降幅度为0.8。
·看涨期权执行价格为25美元，一年后到期。
·无风险利率为6%。
解答：
（1）首先计算各个参数：
因为上涨幅度和下降幅度都直接给出，我们可以直接利用数据计算上涨概率和下降概率。
（2）计算未来股票价格：
（3）计算期末不同股票价格下对应的期权价值：
（4）将期权价值根据概率加权平均并折现到0时刻：
2.3.2 一阶段二叉树定价模型的套利
公式：
式中，h表示对冲比率。
让我们以一道例题来具体讲解该套利机制。假设市场看涨期权有相关特征X=S=＄40，U=1.25，D=0.8，Rf=7%，πu=0.6，πd=0.4。该看涨期权当前的市场价格为＄7。
图 8-47
根据看涨期权一阶段二叉树图形如图8-47所示。
那么该看涨期权的内在价值应该等于：
由此可见，该看涨期权的市场价格高于它的内在价值。根据买低卖高原则，我们应该卖出该看涨期权，并同时买入一些股票来对冲风险，该股票数量由对冲比率决定。
假设我们卖出100份看涨期权，那么在同时我们应该买入100×0.5556=55.56份股票。两笔交易的初始成本为：
55.56×40-100×7=＄1522
投资者的初始成本将以7%的利率借入，那么一年后还款金额等于1522×（1+7%）=＄1629。
如果一年后股票价格上涨，该组合价值=55.56×50-100×10=＄1778。
如果一年后股票价格下跌，该组合价值=55.56×32-100×0=＄1778。
所以无论股价如何变化，投资者一年后能获得的确定性收益为=1778-1629=＄149，相当于在0时刻投资者可以获得套利利润为
。
整个套利过程如表8-10和表8-11所示。
表 8-10
注：表引自CFA协会原版书二级第5册。
表 8-11
在无套利的时候，应该满足下面等式：
+C-hS-PV-（hS-+C-）=0
+C=hS+PV（-hS-+C-）
同理，看跌期权也是一样的。无套利条件下应该满足下面等式：
+P=hS+PV（-hS-+P-）
2.3.3 两阶段二叉树定价模型
1.两阶段二叉树定价模型——欧式期权
用两阶段二叉树模型对期权进行定价的过程，相当于重复三次一阶段二叉树模型的定价过程。其具体步骤为：
·算出相应参数，股票价格上涨幅度u、下降幅度d、上涨概率πu、下降概率πd。
·算出T=2时，三种可能的股价：两次都上涨的股票价格S++=S×u×u，两次都下跌的股票价格S--=S×d×d，先涨后跌或先跌后涨的股票价格S+-=S-+=S×u×d。
·算出T=2时，不同股票价格对应的期权价值：
·将T=2时不同的期权价值根据概率进行加权平均，再折现到t=1时刻，得到C+和C-或P+和P-。
·将T=1时的期权价值根据概率进行加权平均，再折现到t=0时刻，得到C或是P。
·综上，欧式期权的两阶段二叉树图形如图8-48所示。
图 8-48
【例题】两阶段二叉树模型——欧式看涨期权定价
请根据以下条件计算欧式看涨期权和欧式看涨期权的价格。
·标的股票当前的市场价格为＄25。
·价格上涨的幅度为1.2，下降幅度为0.8。
·看涨期权执行价格为＄25，两年后到期。
·无风险利率为6%。
·假设到期之后股票不分红。
解答：
（3）此时，市场上的看跌期权，可以用买卖权平价关系来求：
2.两阶段二叉树定价模型——美式期权
前面的讨论，我们都只针对欧式期权（期权只能在到期日执行），美式期权则允许在到期日之前的任意时刻执行。对于一份看涨期权，如果标的资产为不分红的股票，那么提前执行的权利并不产生价值，而对于价内看跌期权（deep in the money put option）提前执行的权利就非常有价值。这是因为看涨期权的等特是有意义的，即股票的上涨空间是无限大的，所以看涨期权的时间价值较高，但对于价内看跌期权来说，由于利润是有上限的（股票价格不可能低于0），这种情况下，提前行权是有意义的，等待没有意义。
在两阶段二叉树定价模型里，欧式期权只有在到期的时候，即T=2时才可以被执行，而美式期权，则可以在到期日之前任意时刻执行，即在T=1和T=2时都可以执行。因此，在用两阶段二叉树模型对美式期权定价时，还需要增加一个步骤，即将T=1时刻执行期权带来的收益与T=2时刻执行的收益现值进行对比。如果在T=1时刻，直接执行期权带来的收益大于折现来的收益，则期权会直接执行，不需要再等到第二阶段了。下面通过一个例题来进行具体说明。
【例题】两阶段二叉树模型——美式看跌期权定价
假设一份不分红的股票价格为＄40，一份两年到期的美式看跌期权，执行价为X=＄38，u=1.25，d=0.8，无风险利率为7%，计算该看跌期权当前的内在价值。
解答：先算出T=2时刻，三份股票的价格以及对应的看跌期权的价值。然后将T=2时刻的期权价值折现到T=1时刻，画出二叉树图形，如图8-49所示。
图 8-49
其中πu=
=0.6，πd=1-πu=0.4，P-=
=＄4.64。
因为题目中为美式看跌期权，说明可以在T=1时刻执行，也可以在T=2时刻执行。看图中方框里，T=2时刻执行时，折现到T=1时刻，相当于获得收益＄4.64。如果直接在T=1时刻执行，可以获得收益为38-32=＄6，大于＄4.64。任何一个理性投资人都会选择在T=1时刻执行，所以P-将不再是折现的价值＄4.64，而是＄6。因此：
2.3.4 二叉树模型对利率期权进行定价
利率期权（interest rate option）跟股票期权在某种程度上十分类似。买方支付一定金额的期权费后，就可以获得这项权利：在到期日按预先约定的利率，按一定的期限借入或贷出一定金额的货币。
当市场利率向不利方向变化时，买方可以获得事先约定利率水平；当市场利率向有利方向变化时，买方可放弃执行从而获得利率变化的好处。利率期权的卖方向买方收取期权费，同时承担相应的义务。二叉树利率期权定价模型跟股票期权定价模型一样，也做了相应假设，即在二叉树的每一个节点，利率变化的概率是相同的，都等于50%。
利率期权到期时的收益的通用公式
·当市场利率上升时，利率看涨期权的价值上升。
利率看涨期权到期时的收益=名义本金×max{0，（市场利率-执行利率）}
·当市场利率下降时，利率看跌期权的价值上升。
利率看跌期权到期时的收益=名义本金×max{0，（执行利率-市场利率）}