2.2　买卖权平价关系

第一种期权定价模型是买卖权平价关系。买卖权平价关系（put-call parity）是指具有相同的行权价格与到期日的看涨期权与看跌期权，其价格必然存在的关系。如果市场上两者价格不符合该关系，则存在套利的空间。下面我们通过探讨两个资产组合：受托的买入期权（fiduciary call）和受保护的卖出期权（protective put）来研究这种关系。

1.受托的买入期权的头寸包括两部分

·买入一份欧式看涨期权，该看涨期权的执行价格为X，T年后到期。

·买入一份无风险零息债券，该无风险债券的面值为X，T年后到期。

假设该看涨期权的期权费为C0，那么投资者在零时刻投资成本就等于期权费加债券的现值，用公式表示为C0+PV（X）。

假设T年后股票价格为ST，那么该组合的最终收益可以用表8-8来表示。

表　8-8

2.受保护的卖出期权的头寸也包括两部分

·买入一份欧式看跌期权，执行价格为X，T年后到期。

·买入一份该看跌期权的标的资产，即股票。

假设该看跌期权的期权费为P0，股票价格为S0，那么在零时刻投资成本就等于看跌期权的期权费再加上此时股票的价格，公式表示为P0+S0。假设T年后股票价格为ST，那么该组合的最终收益可以用表8-9来表示。

表　8-9

对比表8-8和表8-9，可以发现在ST>X时，受托的买入期权和受保护的卖出期权的总收益都是ST；在ST≤X时，两者的收益都是X。根据一价定律，两个资产的未来现金流相同，那么两者当前的价格必定相等。因此：

C0+PV（X）=P0+S0

该公式不仅在最开始的时候成立，在任意时刻都应该成立，只要不成立，就存在套利。

2.2.1　合成金融工具★

合成金融工具（synthetic instruments）：指通过买卖权平价关系将公式中任意三种金融工具组合在一起，创造出余下金融工具的方法。比如，当投资者想在市场上购买某种股票的看涨期权而买不到时，也可以通过购买多种金融工具，人为地创造出与该期权具有相同特征、相同风险及潜在回报率的组合。

（1）合成欧式看涨期权（synthetic European call option）：

C0=P0+S0-PV（X）

synthetic call=put+stock-bond

（2）合成欧式看跌期权（synthetic European put option）：

P0=C0+PV（X）-S0

synthetic put=call+bond-stock

2.2.2　买卖权平价关系的套利★★

一旦买卖权平价公式不相等就会出现套利机会，套利行为主要是基于买低卖高（buy low sell high）。例如，当合成看涨期权的价格大于市场上看涨期权的价格时，我们就应该在市场上买入看涨期权，同时卖出一份合成的看涨期权。相反，如果合成的看涨期权的价格比看涨期权的市场价格低时，则买入一份合成的看涨期权，卖出真实市场上的看涨期权。

【例题】买卖权平价关系不成立时的套利机会

请根据以下条件计算无套利机会下的看涨期权的价格以及套利利润。

·执行价格为50欧元，30天后到期的欧式看涨期权和欧式看跌期权的期权价格分别为7.1欧元和3.5欧元。

·标的股票当前的市场价格为53欧元。

·无风险利率为6%。

·假设到期之前没有分红。

解答：

1）C0=P0+S0-PV（X）=3.5+53-=6.74（欧元）。

无套利机会下的看涨期权的价格应该为6.74欧元，但是此时市场价为7.1欧元，所以存在套利机会。

2）因为6.74<7.1，因此市场上的看涨期权被高估了，根据买低卖高原则，应该卖出一份看涨期权，再买入一份合成的看涨期权。

·卖出看涨期权，收到7.1欧元。

·买入一份合成的看涨期权，即买入一份，即买入一份看跌期权，再买入一份股票，再卖出一份债券。总共的费用为6.74欧元。

·套利利润为7.1-6.74=0.36（欧元）。