2.1　关键链识别及优化

项目进度估计必须在关键链识别及排序优化的基础上进行，本节主要从关键链的识别及确定、基于DSM的关键链排序优化两个方面进行探讨和改进。

2.1.1　关键链识别

运用关键链项目管理方法的第一步是识别项目关键链。根据关键链的定义，满足资源约束的关键路径就是关键链。因此，识别关键链首先要找出关键路径，然后再进行资源优化配置。可以看作是“资源有限、工期最短”的资源优化问题。用数学语言表达如下。

y=minT　　（2-1）

Fi+Dj≤Fj　　（2-2）

∑rki≤Rk，其中，k=1，2……m　　（2-3）

Fi≥0　　（2-4）

式（2-1）为使项目工期最短的目标函数，式（2-2）为工序的逻辑关系约束，式（2-3）为项目的资源约束，式（2-4）为工期非负约束。项目可用的资源包括可更新资源和不可更新资源。可更新资源和不可更新资源可按更新周期区分。当一种资源重新获取的周期较短（如一天），在其周期内消耗完后在新的周期内可自动更新，这种资源就属于可更新资源，如人力资源就属于可更新资源。当一种资源的消耗与获得的周期较长，以项目周期为更新周期时，这种资源就属于不可更新资源。在项目过程中一旦消耗完了就不会再生，如资金、原材料属于不可更新资源。

本节在确定关键路径的基础上，采用资源调配法来识别项目的关键链。假设初始网络计划图在t时刻有两项平行工序i、j同时开始，此时某种资源的需求量大于项目中该资源的供应量，由于资源冲突，不得不推迟i、j其中一道工序的开始时间，引起总工期的延长。

记ΔT（i，j）为将工序i安排在工序j之前延长的工期，ΔT（j，i）为将工序j安排在工序i之前延长的工期，ESi、LSi分别为工序i的最早、最晚开始时间，EFi、LFi分别为工序i的最早、最晚结束时间，Di为工序i的持续时间，工序j参数同前边所述，资源调配引起的工期变化，如图2-2所示。

则ΔT（i，j）与ΔT（j，i）的计算公式分别如式（2-5）和式（2-6）表示。

ΔT（i，j）=EFi+Dj-LFj=EFi-（LFj-Dj）=EFi-LSj　　（2-5）

ΔT（j，i）=EFj+Di-LFi=EFj-（LFi-Di）=EFj-LSi　　（2-6）

若ΔT（i，j）>ΔT（j，i），则将工序i安排在工序j之后，反之，则将工序j安排在工序i之后，若ΔT（i，j）=ΔT（j，i），则任意推迟其中一道工序。若在发生资源冲突的时间点上有两道以上的平行工序，则分别对它们进行两两排序，计算对应的工期增加量，选择工期增加量最小的方案。

但资源调配法的问题在于，当资源冲突时刻有n个平行工序，需要推迟m个，需要计算个ΔT，比较m-1次，当n和m过大时，计算量也随之增大。在大型的项目中，往往会遇到这种问题。

在发生资源冲突的时刻，所有进行排序的工序开始时间都相同，故公式可以变为：

ΔT（i，j）=EFi-LSj=ESi+Di-LSj　　（2-7）

ΔT（j，i）=EFj-LSi=ESj+Dj-LSi　　（2-8）

由于资源冲突时刻ESi=ESj，所以寻求资源冲突时刻min（ΔT）的问题就转化成寻找资源冲突时刻所有并行工序中初始开始时间最大值的工序以及工期最小值的工序。

2.1.2　关键链排序优化

在项目网络图中，除外部制约关系外，还有项目活动之间的关系，其主要包括强制性逻辑关系和无逻辑关系的组织关系两种关系。强制性逻辑关系是工作之间所存在的内在关系，通常是不可调整的；而对于那些无逻辑关系的组织关系，虽然其排序具有随意性，但在排序时又必须考虑到资源的约束。例如：有3间房屋需要刷墙，3个工人同时施工，1天就可以完成；但如果只有1个工人，则需要3天才能全部刷完，因此在有资源约束的情况下，就必须对这3间房屋的刷墙进行排序，但这种排序又没有一定规律。因此引入DSM矩阵，在考虑到工序间强制性逻辑关系的基础上，对有资源约束的非强制性逻辑关系基于信息流进行排序，并对关键链进行优化。基于DSM的关键链排序及优化的基本思想是：首先识别工序之间的信息流向，基于DSM矩阵衡量信息流强度；然后建立目标优化函数，考虑到资源约束关系和工序逻辑关系，尽量缩短信息反馈距离，即减少矩阵中上三角反馈数量，将反向信息反馈变为正向信息传递，最终确定关键链工序的最优排序。工序之间的信息流交互可以分为两种情况：第一种是相邻工序不存在搭接关系的信息流交互；第二种是相邻工序存在搭接关系的信息流交互。信息传递与信息反馈同时存在于这两种信息流交互之中。

（1）DSM矩阵优化

关键链工序主要分为强制性逻辑关系和基于资源约束的组织关系两部分。对于强制性逻辑关系，其排序是确定的，而组织关系则具有一定的随意性。工序信息流交互，使得工序存在返工风险，导致工序工期延长，因此，在确定关键链时必须对工序进行优化，既要考虑强制性逻辑关系下因信息流交互所产生的返工时间，又要通过信息流的合理排序和优化，减少具有资源约束的组织关系的信息流交互强度和概率，从而缩短项目工期，减少成本。即利用DSM矩阵减少信息反馈个数、缩短信息反馈距离，从而减少由信息反馈带来的返工风险。

以图2-3所示的DSM矩阵为例，四种矩阵分别表示优化前信息流交互矩阵、返工概率（Rework Probability，RP）矩阵、返工强度（Rework Impact，RI）矩阵和优化后信息流交互矩阵。返工概率矩阵和返工强度矩阵是衡量返工风险的矩阵，排序优化时，需考虑返工风险，尽量较少返工次数。一般情况下，DSM矩阵采用“·”或“×”标记信息流向，对角线数值表示工序工期；下三角矩阵表示工序信息传递，如B传递信息给C；上三角矩阵表示信息反馈，如C将信息反馈给A；用数字标记时，即表示信息流交互的强度，如图2-3（b）中，RP（3，2）=0.8表示B将信息传递给C，导致C返工的概率为0.8；图2-3（c）中，RI（3，2）=0.3表示C工序发生返工，返工时间占工序C总持续时间的30％。经过对初始矩阵的信息流分析，结合返工概率、返工强度和优化目标函数，就可以得出优化后矩阵，如图2-3（d）所示。从优化后矩阵可以看出，上三角反馈数明显减少，工序返工风险大大降低。

传统DSM技术只考虑到了任务间的信息流约束，而没有考虑到工序间的逻辑关系和资源约束，而工序间的强制性逻辑关系是不能改变的，其资源也不可能根据信息流的交互而随意调整，并且没有限制，因此本节对DSM工具的改进在于考虑到了任务间的逻辑关系和资源约束的影响。

如图2-4所示，已知工序E必须在工序D完成之后才能进行，图2-4（a）为初始矩阵，图2-4（b）为传统DSM的优化方法矩阵，即在未考虑强制性逻辑关系情况下的优化结果，图2-4（c）为改进后的优化方法矩阵，即在考虑了强制性逻辑关系情况下的优化结果。由图2-4（b）和图2-4（c）所示，未考虑工序D和工序E的逻辑关系下，矩阵上三角点数明显减少，距离也明显缩短，进而工期和成本也随之减少；但是，由于D和E具有强制性逻辑关系，因此，虽然考虑逻辑关系下的优化结果不如不考虑逻辑关系的优化结果好，但是，依然要按照图2-4（c）所示的矩阵进行优化。因此，关键链工序优化必须在保持原有强制性逻辑关系不变和考虑资源约束的条件下，基于工序间的信息流交互进行。

（2）建立活动排序目标优化函数

DSM往往基于目标函数对信息流进行优化，传统的DSM目标优化函数，以反馈个数最小或反馈距离最小，或反馈个数和反馈距离同时最小为优化目标。若用NC表示由反馈个数和反馈距离导致的协调成本，则传统的目标优化函数为min{NC}。NC可表示为：

其中，DSM（I.J）表示工序I和J的依赖度，（J-I）表示DSM中第I行与第J列对应的点到对角线的距离。ω2和ω1为权重系数，且ω2+ω1=1。

传统目标优化函数并没有考虑项目返工风险等不确定性，同时，也忽略了成本和时间对排序的影响。本节在考虑最小化反馈个数和反馈距离基础上，基于返工概率和返工强度矩阵，加入返工协调时间和返工协调成本，以总协调成本（Total Coordination Cost，TCC）最小，即min{TCC}为目标优化函数。TCC可表示为：

TCC=ωNC×NC+ωRCT×RCT+ωRCC×RCC　　（2-10）

其中，RCT和RCC分别表示返工协调时间和返工协调成本，即与返工相关工序所引起的时间和成本增加的累计值。ωRCT、ωNC和ωRCC是权重系数，且满足ωRCT+ωNC+ωRCC=1。RCT和RCC的计算公式如下：

其中，TimeK和CostK分别表示工序K的持续时间和成本，RP（K，I）和RI（K，I）分别表示返工概率矩阵和返工强度矩阵中的值。

以图2-3为例，若工序B、C和D的持续时间为20、25和30；成本分别为25、30和35；则B工序返工风险引起的返工时间RCTB=（0.7×0.1+0.5×0.2）×（25×0.8×0.3+20）=4.42; RCCB=（0.7×0.1+0.5×0.2）×（30×0.8×0.3+25）=5.47。

（3）仿真模拟

（A）案例背景

以总协调成本最小为目标，减少信息反馈个数和反馈距离，得到关键链工序的最优排序。已知某企业的某科研项目包含20道工序，其工序初始网络图如图2-5所示。

根据关键链理论，基于任务间的逻辑关系及资源约束情况，可以确定这20道工序中的13道工序为关键工序。按照传统关键链排序技术，图2-5即为所确定的项目关键链网络图。按照工序间的信息流传递情况，对关键链工序进行重新排序和优化。为了便于进行DSM矩阵分析，将13道工序按A、B、C、D等的顺序重新进行编号，各工序的持续时间以及成本情况如表2-1所示。根据图2-5所得到的项目初始DSM矩阵如图2-6所示，返工概率矩阵和返工强度矩阵如图2-7所示。需要指出的是，工序E、F和G属于强制性逻辑关系，因此必须按照顺序依次进行，工序L和M也必须按照顺序依次进行。

（B）Matlab仿真模拟

由图2-7可知，初始DSM矩阵中，上三角反馈点数较多，在这种情况下所进行的关键链工作排序，其反馈距离较长，时间和成本也必然很大。采用DSM以总协调成本最小为目标进行优化，得到优化后的矩阵如图2-8所示。

由图2-8可见，上三角中所显示的信息反向流动个数达到最低，项目并行工序返工风险达到最小，在资源限制的情况下，顺序作业时，所有并行活动的工期持续时间大大降低。并且，工序E、F和G以及工序L和M之间的强制性逻辑关系维持不变。为了检验优化结果，采用基于返工风险的遗传算法进行优化和仿真，将计算结果用Matlab执行500次仿真，优化前后的计算结果如表2-2所示。项目优化前后总时间和总费用的概率质量函数分布如图2-9和图2-10所示，项目整体累计分布函数优化结果如图2-11所示。对比图2-11优化前和优化后的结果可知，优化后项目总费用和时间的分散程度进一步降低，将总费用和总时间的概率进行累计后，可得到项目在不同费用和不同时间完工的累计概率。

根据实验模拟以及验证结果，可以得出以下结论。

第一，由表2-2可知，经优化后，反馈点数由17减少为13，反馈距离由49减少为26。由图2-9和图2-10可知，优化之前，平均返工协调时间为4832.2，时间标准差为40.58；平均协调成本为3131.4，成本标准差为22.66。经优化后，平均返工协调时间为1909.3，降低幅度为60.5％，时间标准差为9.94，降低幅度为75.5％；平均协调成本为1254，降低幅度为60％，成本标准差为8.18，降低幅度为64％。由此可见，这种信息流的重叠和交互，不仅对项目的期望工期有很大的影响，而且对工期的方差也有很大的影响，与传统关键链排序和DSM优化方法相比，采用本节的方法使得排序结果得到了进一步的优化。

第二，由图2-9、图2-10可知，优化后累计概率曲线比较陡峭，数据更趋于稳定和集中，分散程度进一步降低。因此，优化不但缩短了工期和成本，还减缓了工期波动，增大了项目的完工保证率。

另外，关键链项目管理跟以往方法相比另一个很大的不同就是加入了三种缓冲区：项目缓冲（Project Buffer，PB）、接驳缓冲（Feeding Buffer，FB）和资源缓冲（Resource Buffer，RB）。缓冲区的加入，解决了项目对安全时间的浪费问题，既可以用来吸收项目的不确定性，又能够提高项目按时完工的概率。由表2-2、图2-9～图2-11可知，经DSM信息流优化后进度和成本的方差得到了很大的降低，工期波动也有较大的减缓，这说明优化能够降低项目的进度和成本的风险，并因此而减少项目安全时间和缓冲的预留，从而进一步缩短项目工期，提高项目按时完工保证率。

第三，采用DSM进行优化，在保持工序强制性逻辑关系不变的前提下，关键链工序得到了最优排序，把CCPM中的资源约束关系和工序依赖关系与DSM中的信息流向关系相结合，同时克服了CCPM和DSM的不足。

第四，通过对信息流的分析，指出工序之间的信息流向，然后基于DSM矩阵进行优化。同以往的方法相比，该方法既考虑了工序之间的信息流向，又对工序信息流交互强度和概率进行了优化，除缩短了工序的返工时间外，又在一定程度上减少项目的成本，在关键链最优排序中，实现了时间和成本的双重优化。

在关键链最优排序确定后，可以得到优化后的项目网络图，根据关键链理论在关键链末端插入项目缓冲后，在非关键链与关键链连接处插入接驳缓冲后，得到最终的项目网络图，如图2-12所示。

本节提出了一种基于设计结构矩阵的关键链排序及优化的新方法。把设计结构矩阵和关键链项目管理结合起来，考虑到工序间的资源约束和逻辑关系，对于有强制性逻辑关系的工序，保持其逻辑关系不变；对于没有强制性逻辑关系的工序，以总协调成本最小为目标，根据工序间的信息流交互情况确定关键链。新方法所确定的关键链结合工序的工作流和信息流，通过排序缩短工序之间的信息交互距离及强度，从而实现关键链工序的最优排序。另外传统DSM信息流目标优化函数只考虑反馈量，而本节方法依据活动时间、费用和返工风险等因素区别对待各活动，费用较大的活动将被最大限度地避免进入返工循环中，从而能减少项目总费用和返工协调成本。仿真模拟结论表明，根据DSM信息流矩阵重新排序后的关键链实现了时间和成本的双重优化。同时，由于返工风险考虑了返工的不确定性，也因此降低了因不确定性所导致的关键链安全时间和缓冲的预留和浪费问题，从而进一步优化了项目的完工时间，降低了项目的总成本。采用仿真计算技术分析优化得到的结果，可更直观地显示项目费用和时间的分布，本节所提出的仿真技术为此类问题提供了更加可视化的分析方法。