极小极大定理

极小极大定理证明，对每一个有限的二人零和博弈，都存在一个理性解，其形式或为纯策略，或为混合策略。冯·诺依曼之所以被尊为博弈论的创始人，主要就在于他在1926年就证明了这个理论。冯·诺依曼认为这个定理是至关重要的。1953年，他写道：“就我而言，我深知没有这个定理，就没有博弈论。在研究这个课题的整个时期中，极小极大定理获得证明，在此之前我一直觉得自己还没有什么成果值得发表。”

简而言之，极小极大定理告诉我们，在两个利益完全相反的人之间出现的有精确定义的冲突，总存在一种理性的解；所谓理性的解，就是在给定冲突性质的前提下，双方都确信他们不可能期望有更好的结果了。

博弈论的“处方”是保守的，但当博弈的一方是理性的，他所面对的另一方也是理性的情况下，博弈论提供的处方是他所能期望的最佳处方。当然，这个处方并不保证有最佳结果。一般来说，理性的博弈者在面对非理性的对手时可以做得更好一些。有时候，甚至顽固执行博弈论预定策略的理性参与者，其获利也比预期的多。但在其他情况下，理性博弈者必须适当偏离博弈论的策略，以便利用对手的非理性。匹配硬币游戏就是一个例子。比如，你是游戏的正方，以均等但随机的方式混合出正面或反面。但如果你注意到对手缺乏一些理性，不自觉地选择正面的次数多于一半，那么你也可以更多地出正面。

虽然这种修正是明智的，但修正以后的策略就不再是最佳的了，而且可能因暴露你自己而被利用（比如被第三方或者是非理性的对手突然反应过来而利用）。