狂飙突进运动时期

《生活》杂志在发布冯·诺依曼去世的报道中夸张地说：“对冯·诺依曼而言，成功之路是一条多车道的高速公路——车流少，也没有车速限制。”迪冬在《科学家传记辞典》的有关条目中，把冯·诺依曼从1925年到1940年的15年称为他的“狂飙运动时期”。在这段时期中，他一篇接一篇地迅速发表了许多的原创性论文，其领域涉及逻辑学、集合论、群论、遍历理论，以及算子理论。在冯·诺依曼去世后不久，《科学》杂志上发表的一篇文章中，哥尔斯廷和维格纳说，除了拓扑学和数论，冯·诺依曼对数学的每一个分支都做出了重大的贡献。

综观冯·诺依曼的一生，他倾向于应用数学，即可以看出应用前景的纯数学。在题为“数学家”（The Mathematician，收录在詹姆斯·纽曼的《数学世界》一书中）的一篇短文中，冯·诺依曼说出了他个人对数学的看法。文章表明，他对数学最关心的是其哲学基础。在这篇小品文中，冯·诺依曼使用了一个奇妙的对偶，其中一个词是“美学”。他用惠斯勒的术语定义数学，并且有意识地把它同美术做对比。冯·诺依曼认为，一个好的数学证明需要具有如下品质：

 

人们希望（一个数学证明）在结构上是“优美的”。所谓优美，是指问题表述得很清楚，解决它却很难，可是在证明中间突然出现令人意想不到的转折，使整个证明或证明的一部分变得容易了，如此等等。此外，如果推导很长、很复杂，那么应该包括一些简单的一般原则，用以“解释”其复杂性和迂回性，把一些明显可以做出的判定和任意推广压缩为少数几个简单的、有指导意义的动机，如此等等。这些准则显然是所有创造性的艺术都要遵守的，同样也存在于某些以经验为根据的、世界性的文艺作品的主题背景之中。随着唯美主义的发展，这些准则变得越来越重要了，同时也出现了各种各样错综复杂的变异。所有这些同艺术十分相似，其相似程度远大于经验科学之于艺术。

 

与此同时，他坚持认为最好的数学通常是在实际问题的激励下产生的。下面这段文字（除了其他意义以外）似乎是在为博弈论辩护，因为有些数学家反对把它当作一个应用领域。冯·诺依曼警告说：

 

……“纯”数学变得越发纯粹地唯美主义，越来越纯粹地“为艺术而艺术。”这倒不一定是坏事，如果该领域被一些相关的科目围绕，而这些科目仍然同经验有很紧密的联系，或者受到有极深刻体验的人的影响的话。但是，纯数学存在着极大的危险，那就是使其学科沿着阻力最小的路线发展，学科的潮流一旦离开它的源头，就将分成许多无意义的分支，学科也将变成由大量细节和复杂的东西互不相关地堆砌在一起的大杂烩。换句话说，一个数学科目如果远离它的经验性的源泉，或者使自己限于“抽象的”狭隘范围之内，那么它就有退化的危险。任何数学科目在开端时期，其风格通常是经典的；当它开始显露出奇异的风格时，危险的信号也就亮起了。从特定的演变出发，风格越变越怪异……这样的例子不胜枚举。

 

可惜，若想说清楚冯·诺依曼关于数学美学的意义，不涉及大量深奥的数学是不可能的，而所有这些著作对于非数学家来说都是无法理解的，我们在这里进行的讨论不允许深入这个问题。但是无论如何，如果不提及他在数学上的某些造诣，那是不负责任的。冯·诺依曼的声誉很早就建立起来了，这为博弈论的被广泛接受铺平了道路。

他最早的兴趣之一是集合论。20岁时，冯·诺依曼就提出了序数的形式化定义，他的这个定义今天还在被人们使用，那就是：一个序数是所有较小序数的集合。

在哥廷根，戴维·希尔伯特把他对物理学和数学的公理化方法的兴趣传给了冯·诺依曼。希尔伯特很佩服欧几里得的《几何原本》，这是古代（大约公元前300年）的一本几何书。欧几里得关于几何的陈述，既不是他个人对几何的意见，也不是他对几何图形进行细心测量的经验结果——欧几里得给出的是一些定理，其结果是由一系列逻辑推理证明的。欧几里得的著作引入了以一种简明、吸引人的格式给出数学证明的一般方法。

当然了，今天的数学书或数学杂志上给出的定理证明比欧几里得的证明要严格得多了，但是他们的基本方法并无二致。不管要证明什么，没有某个出发点是不可能的，其中必须有一组事实，它们是无可争议的，因此可作为证明一些更有争议的陈述的基础。欧几里得把这些可被接受的事实称为“公理”。

当今的数学家对公理的看法比欧几里得更加开放。在欧几里得看来，公理是明显的，因此必然是一个真的陈述。现代人常常采纳的公理则不见得能用于眼见为实的世界，只要能用它们来证明些什么就行。但无论何种观点，证明都强调利用尽可能少的公理。在欧几里得的《几何原本》一书中，所有的几何定理都是从仅仅5条公理中推导出来的。在其他领域中，公理的数目也都比较少。

几十个世纪来，欧几里得的公理化方法吸引了许多领域中的思想家。在1910年到1913年之间，英国数学家伯特兰·罗素（他一生只和冯·诺依曼有少许接触，却为后者开辟了道路）和怀特里德陆续出版了多卷本《数学原理》，这部雄心勃勃的著作企图把整个数学公理化。它证明，数学的大部分理论可以从少数几条逻辑学的公理中推导出来。

大家都倾向于认为，数学有严格的逻辑基础。这是数学之所以为数学而不是物理学的根本。所以，从概念上来说，罗素和怀特里德的书并无特别与众不同之处。但是，此书以它覆盖的范围之广开阔了一个新天地。他们克服了前进道路上几个意想不到的障碍，从而把公理化思想大大地向前推进了。这是前人没有做到过的。

但是，他们是不是取得了成功呢？希尔伯特认为没有。罗素和怀特里德仍然没有证明，每个数学真理都可以由《数学原理》中所提出的模式推导出来；他们甚至也没有证明，为真的陈述总是可以被推导出来的。希尔伯特向他的出色的门徒们发出挑战，请他们从根本上证明数学是可以公理化的。

冯·诺依曼接受了挑战——但是徒然，整个数学是不能被公理化的。哥德尔在1931年证明了这一点，使整个数学界为之震惊。

冯·诺依曼讲过一个故事，描述他根据希尔伯特的建议如何从事这项研究，最后夭折的经历。他在证明过程中已经到达了一个顶点（他试图证明，类似于《数学原理》的一个数学系统是自相容的。现在已知这是不可证的）。那天夜里冯·诺依曼做了一个梦，在梦里他知道应怎样继续证明。他醒来以后立刻拿起笔和纸继续往下证明，写下后续的几步证明以后，又进行不下去了，他就又回去睡觉。第二天他没有任何进展。这天夜里，他在梦中又有了一个出色的想法，于是他又起来在证明中加了几步。当然，证明仍然没有完成。冯·诺依曼最后说：“我的运气真好，数学也真好，但它没有让我在第三个夜晚再做梦！”

为什么许多数学家给予了冯·诺依曼最高的评价呢？其原因在于，冯·诺依曼的大多数原创性成果是如此困难，以至于无法向门外汉介绍。例如，“算子环”理论（现在被称作“冯·诺依曼代数”）、准遍历假设的证明，以及格论方面的著作。

从1927年开始，冯·诺依曼将公理化方法应用于物理学的新发现。他意识到，量子力学系统的状态可以被当作希尔伯特空间中的矢量来处理。这是冯·诺依曼发明中的典范。他的一些同事相信，任何人在若干年内都不会有这样的发现。这个发现除了在技术上极为重要之外，他处理量子理论的方法也有助于人们理解这个深奥难懂的理论。冯·诺依曼的工作对随后有关量子理论的哲学解释影响巨大。在冯·诺依曼看来，对一个物理现象的观察，应包括观察者、测量仪器，以及被观察的现象。冯·诺依曼断言，在观察者和测量仪器之间的区别是任意的。

冯·诺依曼的这一工作揭示了心智的作用，之后它以不同形式被反复提起。20世纪20年代末，冯·诺依曼已经开始研究博弈论。在他生命的最后几年，冯·诺依曼花了更多的时间考虑各种各样的“心智”怎样能够嵌入到计算机的继电器和电路中去。博弈论和计算机是冯·诺依曼的两大主要创造，因此，雅各布·勃洛诺夫斯基在《人的升华》节目中称他为“我所知道的最聪明的人，无人能出其右者。如果把天才定义为‘有两大发明的人’，那么他是一位名副其实的天才”。