几何原本

/古希腊/欧几里得/科学史上的“《圣经》”

⊙作者简介

欧几里得（活动时期约为公元前300年）亚历山大学派前期的三大数学家之一。是希腊伟大的数学家，关于他的生平现在知道的很少。欧几里得早年在雅典的柏拉图学园受过教育，学习希腊古典数学和其他科学文化。由于雅典的衰落，数学界和其他科学一样处于低迷状态。公元前300年，欧几里得崭露头角，后来应统治埃及的托勒密国王的邀请客居亚力山大城，从事数学工作。他治学严谨、谦虚，是一位温良敦厚的数学教育家，他提倡在学习上刻苦钻研，弄懂弄通，反对投机取巧，急功近利。据普罗克洛斯在书中记载，托勒密王曾问欧几里得，有没有学习几何学的捷径。欧几里得回答说：“在几何学里，没有专为国王铺设的大道。”斯托贝乌斯在书中记述了另一则有趣的故事，说一个学生才开始学第一个命题就问欧几里得学了几何之后将得到些什么，欧几里得给了他三个钱币，说他就能得到这点利益。由于在希腊后期失去了独立性，导致雅典的学术文化中心向日益昌盛的埃及都城──亚历山大城转移。此时此刻的欧几里得，以流亡者的心境旅居亚历山大，内心燃起一股热情，要将以雅典为代表的希腊数学成果，运用前人曾经部分地采用过的严密的逻辑方法重新编纂成书。惊世鸿著《几何原本》就是这样于公元前300年前后诞生了。欧几里得著有许多关于数学、物理、天文方面的著作，其中最伟大的著作就是流芳千古的《几何原本》。

⊙背景提示

公元前3世纪的亚历山大城是当时地中海东部的经济、科学与文化的中心，这里建有称誉世界的藏书70万卷的图书馆，以及博物馆、实验室、天文台等文化科学设施。当时有大批数学家在亚历山大工作，他们的一些独创性著作，直到今天仍然闪闪发光。欧几里得将前人生产实践中和科学研究中长期积累的几何知识，加以整理总结，形成演绎体系，写出了历史上理论严密、系统完整的第一部数学著作《几何原本》。

⊙内容提要

《几何原本》的希腊原始抄本已经流失了，它的所有现代版本都是以希腊评注家泰奥恩（约比欧几里得晚700年）编写的修订本为依据的。《几何原本》的泰奥恩修订本分13卷，总共有465个命题，其内容是阐述平面几何、立体几何及算术理论的系统化知识。《几何原本》按照公理化结构，运用了亚里士多德的逻辑方法，建立了第一个完整的关于几何学的演绎知识体系。所谓公理化结构就是：选取少量的原始概念和不需证明的命题，作为定义、公设和公理，使它们成为整个体系的出发点和逻辑依据，然后运用逻辑推理证明其他命题。《几何原本》成为两千多年来运用公理化方法的一个绝好典范。

第一卷首先给出了一些必要的基本定义、解释、公设和公理，还包括一些关于全等形、平行线和直线形的熟知的定理。该卷的最后两个命题是毕达哥拉斯定理及其逆定理。

第二卷篇幅不大，主要讨论毕达哥拉斯学派的几何代数学。

第三卷包括圆、弦、割线、切线以及圆心角和圆周角的一些熟知的定理。这些定理大多都能在现在的中学数学课本中找到。

第四卷则讨论了给定圆的某些内接和外切正多边形的尺规作图问题。

第五卷对欧多克斯的比例理论作了精彩的解释，被认为是最重要的数学杰作之一。

第七、八、九卷讨论的是初等数论，给出了求两个或多个整数的最大公因子的“欧几里得算法”，讨论了比例、几何级数，还给出了许多关于数论的重要定理。

第十卷讨论无理量，即不可公度的线段，是很难读懂的一卷。

最后三卷，即第十一、十二和十三卷，论述立体几何。目前中学几何课本中的内容，绝大多数都可以在《几何原本》中找到。

《几何原本》原先一直是以手抄本的形式广为流传，几个世纪中，许多数学家对它进行了大量的注释和评论。尽管欧几里得受当时重理论、轻实践的哲学思想的影响，《原本》中全部是抽象的定义、公理和定理，没有解决实际问题的内容，但由于它有严谨的理论体系，因此在数学教育和数学研究上仍然受到人们的重视。12世纪以后，《几何原本》被采用为大学教材，公元1500年左右印刷术出现后，这部著作迅速大量翻印，出现了1000多种版本，其发行量与传播之广，仅次于《圣经》，成为西方世界历史上翻版和研究最多的书。在17和18世纪，欧几里得的著作是西方数学教学的基础。

⊙作品评价

《几何原本》是一部划时代著作，出现在两千多年前，更难能可贵的是，它对数学发展所起的作用仍是任何其他著作所无法比拟的。今天，它的主要内容仍在我们中学几何教材中占有很大比重，并被公认是学习几何知识和培养逻辑思维能力的必不可少的内容。诚然，《几何原本》存在着一些结构上的缺陷，但这丝毫无损于这部著作的崇高价值。它的影响之深远，使得“欧几里得”与“几何学”几乎成了同义语。它集中体现了希腊数学所奠定的数学思想、数学精神，是人类文化遗产中的瑰宝。