1.5 信号的时域分解

在对信号进行分析和处理之前，往往需要将其分解成各种不同分量之和，称为信号的分解。

1.将任意信号分解为阶跃函数之和

对于任意的信号，可以用阶跃函数之和的形式来表示它。例如，图1-41中光滑曲线代表的是任意函数f（t），它可以用一系列阶跃函数之和来近似表示。为使以下推导简洁，假定当t＜0时，f（t）=0。

由图1-41可知，第一个阶跃函数f0（t）在t=0时加入，第二个阶跃f1（t）在t=Δt时加入，依次迭加，Δt为时间轴上的等间隔宽度。

由于f0（t）的阶跃高度为f（0），所以第一个阶跃函数为

f0（t）=f（0）u（t）

在第一个阶跃之上迭加第二个阶跃，其阶跃高度是Δf（t）=f（Δt）-f（0），因此有

式中，为t=0和t=Δt处曲线上两点连线的斜率。

同理，t=kΔt处应迭加一个高度为Δf（t）=f[kΔt]-f[（k-1）Δt]=f（kΔt）-f（kΔt-Δt）的阶跃函数，即

将上述各阶跃函数f0（t），f1（t），…，fk（t），…，fn（t）迭加起来为一阶梯函数，可用它来近似表示f（t），即

这样，利用式（1-73）就可将任意函数近似表示为阶跃函数的加权和的形式了。其近似的程度完全取决于时间间隔Δt的大小。Δt越小，近似程度越高。

在Δt→0的极限情况下，误差也趋于零，此时可将Δt写为dτ，而kΔt将变为连续变量τ，代表阶跃高度的函数增量Δf（t）将成为无穷小量df（τ），因而在式1-73中有

同时，对各项取和将变成取积分，此时的近似式也将变为等式，即

式（1-74）表明，在时域中可将任意函数表示为无限多个阶跃函数相迭加的积分。该式中的τ为积分变量。

2.将任意函数表示为冲激函数之和

任意函数除了可以表示为阶跃函数之和外，还可以近似表示为冲激函数之和。

如图1-42（a）所示，任意函数f（t）可以用一系列矩形脉冲相迭加的阶梯形曲线来近似表示。将时间轴等分为小区间，将每个小区间Δt作为各矩形脉冲的宽度，而各脉冲的高度分别等于它左侧边界对应的函数值。

前面已讲，脉冲函数在一定条件下可以演变为冲激函数。据此，可把这些脉冲函数分别用一些冲激函数表示出来，如图1-42（b）所示，各冲激函数的位置是它所代表的脉冲左侧边界所在的时刻，各冲激函数的强度就是它所代表的脉冲的面积。因此，函数f（t）又可以用一系列冲激函数之和来近似地表示，即

冲激函数之和对f（t）近似的程度，取决于时间间隔Δt的大小。Δt越小，近似的程度越高。在Δt→0的情况下，可将Δt写为dτ，则式（1-75）中不连续变量kΔt将变成连续变量τ，同时对各项的取和将变成取积分，且式（1-75）将变为等式，即有

也就是说，可以将任意函数表示为无限多个冲激函数相迭加的迭加积分。该式中的τ为积分变量。

3.用单位序列表示任意离散时间信号

任意一离散时间信号f（k）的波形如图1-43所示。

它是由其序列值{…，f（-3），f（-2），f（-1），f（0），f（1），f（2），f（3），f（4），…}组成的。而f（k）的每一个序列值都可利用移位的单位序列与相应的序列值之积来表示，如f（0）=f（0）δ（k），f（i）=f（i）δ（k-i）等。因而，如图1-43所示的离散信号f（k）可以表示成

f（k）=…+f（-3）δ（k+3）+f（-2）δ（k+2）+f（-1）δ（k+1）+f（0）δ（k）+f（1）δ（k-1）+f（2）δ（k-2）+f（3）δ（k-3）+f（4）δ（k-4）…

即

式（1-77）表明，任一离散时间信号f（k）可表示为加权的延时的单位序列之和，其加权因子为f（i），即f（k）相应的序列值。换言之，任意离散时间信号都可以分解为一系列不同加权、不同位置（时间移位）的单位采样序列。