第1章 信号与系统的基本概念

1.1 信号的描述与分类

1.1.1 信号的描述

人类的发展需要人与人之间的交流，这种交流则依靠信息，因此，信息是存在于客观世界的一种事物现象，通常以文字、声音、图像或事先约定的编码等形式来表现。例如，在原始社会，信息交流主要以烽火、声音等形式通过人类感觉器官进行交流，这种方式无论是在信息传输速度还是在传输距离方面都受到限制。随着对电磁现象的认识，人们把这种含有信息的文字、声音、图像或编码等分别按一定规则约定而形成的符号统称为消息。这种消息是依附于随时间和空间变化的某种物理量。把这种随时间和空间变化的物理量统称信号。可见信号是消息的载体，是消息的表现形式，是通信的客观对象，而消息则是信号的内容。例如在通信工程中，一般将语言、文字、图像、数据等统称为消息，在消息中包含着一定的信息。传送消息必须借助于一定形式的信号（光信号、电信号等）。若信号表现为电压、电流、电荷等则称为电信号，它是现代科学技术中应用最广泛的信号。本书只涉及电信号。

信号描述可有多种方式，而一般常用的有下列三种。

（1）函数

因为信号通常是时间变量t的函数，所以对于某一类信号就可以用时间函数来描述，本书用函数f（t）表示信号。如正弦函数、指数函数等。指数信号的表示形式为

（2）图形

信号随时间t的变化情况，我们可以通过专门仪器观测到其变化的轨迹——图形，因此也可以用图形描述信号。若所得到的图形是曲线，也称为信号的波形，如图1-1所示。

（3）数据

随着现代电子信息技术的飞速发展，相当一部分信号是用其采样点的数据表示，如飞行体的轨道观测返回数据等。

应当注意，信号与函数在概念的内涵与外延上是有区别的。信号一般是时间变量t的函数，但函数并不一定都是信号，信号是实际的物理量或物理现象，而函数则可能只是一种抽象的数学定义。

本书对“信号”与“函数”两个词相互通用，不予区分。例如，正弦信号也说成正弦函数，或者相反；凡提到函数，指的均是信号。

1.1.2 信号的分类

信号可按不同方式进行分类，通常信号分类如下。

1.确定信号与随机信号

按信号随时间变化的规律来分，信号可分为确定信号与随机信号。

确定信号（determinate signal）是指能够表示为确定的时间函数的信号。当给定某一时间值时，信号有确定的数值，其所含信息量的不同是体现在其分布值随时间、或空间的变化规律上。正弦信号、指数信号、各种周期信号等都是确定信号的例子。

随机信号（random signal）不是时间t的确定函数，它在每一个确定时刻的分布值是不确定的，只能通过大量试验测出它在某些确定时刻上取某些数值的概率。空中的噪声，电路元件中的热噪声电流等都是随机信号的例子。

严格说来，除通过专用仪器或设备产生一些有规律的确定信号外，一般实际的信号都是随机信号。因为若传输的是确定信号，则对接收者来说，就不可能由它得知任何新的信息，从而失去了传送消息的本意。但是，对于确定信号的分析仍然有着重要的意义，因为在一定条件下，实际信号与确定信号表现出某种相似的特性，例如，在一个较长的时间内随时间变化的规律比较确定，即可近似地看成是确定信号。可见确定信号是一种近似的、理想化了的信号，这样可以使实际问题分析大为简化，更便于工程的实际应用。

本书将主要研究确定信号，对于随机信号的分析于处理则在后续有关课程去研究。

2.连续时间信号与离散时间信号

按自变量t取值的连续与否来分，信号有连续时间信号与离散时间信号，如图1-2所示。

连续时间信号（continuous-time signal）是指自变量t取值是连续的信号，如图1-2（a）所示。对于该类信号在某一时间间隔内，对于一切时间值，除了若干函数不连续点外，函数都能给出信号确定的函数值。连续时间信号也简称为连续信号，电路基础课程中所引入的信号都是连续信号。

离散时间信号（discrete-time signal）是指自变量t取值不是连续而是离散的信号，如图1-2（b）所示。该类信号只在某些不连续的时间值上给出信号的函数值，其他时间值上信号函数无定义。离散时间信号也简称为离散信号。

3.周期信号与非周期信号

按信号函数取值随自变量t的重复与否，确定信号可分为周期信号与非周期信号，如图1-3所示。

周期信号（periodic signal）是在时间上重复某一变化规律的信号，如图1-3（a）所示。

设信号f（t），t∈R，若存在一个常数T，使得

f（t－nT）＝f（t）n∈Z （1-1）

则称f（t）是以T为周期的周期信号。从此定义看出，周期信号有三个特点：

①周期信号必须在时间上是无始无终的，即自变量时间t的定义域为t∈R。

②随时间变化的规律必须具有周期性，其周期为T。

③在各周期内信号的波形完全一样。

非周期信号（non-periodic signal）是指不满足式（1-1）关系与上述条件的信号，如图1-3（b）所示。

4.功率信号与能量信号

信号还可以用它的能量特点表示，通常分为能量信号与功率信号。

为了知道信号能量或功率的特性，常常研究信号（电流或电压）在一单位电阻上所消耗的能量或功率。

信号的能量定义为在时间区间（－∞，∞）内信号f（t）的能量，记为

信号的功率定义为在时间区间（－∞，∞）内信号f（t）的平均功率，记为

能量信号（energy signal）是指信号能量有限，而信号平均功率为零的信号。此类信号只能从能量去加以研究，而无法从平均功率去考察。例如，非周期脉冲信号、只存在于有限时间内的信号是能量信号。

功率信号（power signal）是指信号平均功率有限，而信号总能量为无限大的信号。对于此类信号能量就没有意义，而只能从平均功率去考察研究。例如，在时间间隔无限大的情况下，所有周期信号都是功率信号。

存在于无限时间内的非周期信号可以是能量信号，也可以是功率信号，这要根据信号函数而确定。

5.有时限信号与无时限信号

若在有限时间区间（t1＜t＜t2）内信号f（t）存在，而在此时间区间以外，信号f（t）＝0，则此信号即为有时限信号，简称时限信号，否则即为无时限信号。

6.有始信号与有终信号

设t1为实常数。若t＜t1时f（t）＝0，t＞t1时f（t）≠0，则f（t）即为有始信号，其起始时刻为t1。设t2为实常数。若t＞t2时f（t）＝0，t＜t2时f（t）≠0，则f（t）即为有终信号，其终止时刻为t2。

7.因果信号与非因果信号

若t＜0时f（t）＝0，t＞0时f（t）≠0，则f（t）为因果信号，可用f（t）U（t）表示。其中U（t）为单位阶跃信号。因果信号为有始信号的特例。

若t＞0时f（t）＝0，t＜0时f（t）≠0，则f（t）称为反因果信号，可用f（t）U（－t）表示。非因果信号为有终信号的特例。

信号还有其他分类形式，譬如按自变量多少还可以分为一维信号、二维信号与多维信号。声音信号是一种一维信号，而电视图像是二维信号。本书主要讨论的时间信号是一维信号，用f（t）表示。

【例1-1】试判断下列各信号f（t）是否为周期信号。若是，其周期T为多少？

（1）f（t）＝cos（7πt＋60°） （2）f（t）＝cos2t＋sin3t

（3）f（t）＝cos10t＋sin10t （4）f（t）＝sin2t＋cosπt

（5）f（t）＝t2＋1 （6）f（t）＝sin2πt＋cos5πt

（7）f（t）＝（sin2t）2 （8）f（t）＝e－2tcos（2πt＋30°）

（9）f（t）＝10cos4πtU（t）

解：（1）f（t）为周期信号，其周期

（2）f（t）为两个子信号f1（t）＝cos2t与f2（t）＝sin3t的和，即f（t）＝f1（t）＋f2（t），且

f1（t）＝f1（t±n1T1），f2（t）＝f2（t±n2T2）

其中，n1∈Z，n2∈Z（Z表示整数域）。则当n1与n2必须为不可约的整数）时，f（t）即为周期信号，其周期T＝n1T1＝n2T2。

有子信号cos2t的周期为，子信号sin3t的周期为。故有

由于已为不能再约的整数比，故f（t）为周期信号，其周期T为

（3）子信号cos10t的周期为，子信号sin10t的周期为0.2π（s）。故有

可见f（t）为一周期信号，其周期T为

T＝1T1＝1T2＝0.2π（s）

此题也可用下述方法判断，即

可见f（t）为周期信号，其周期为

（4）子信号sin2t与cosπt的周期分别为。故有

可见不是整数比，故f（t）不是周期信号。

（5）f（t）是一个二次曲线函数，显然不是周期信号。

（6）子信号sin2πt与cos5πt的周期分别为。故有

可见f（t）为周期信号，其周期为T＝2T1＝5T2＝2（s）。

（7）因，故f（t）为周期信号，其周期

（8）因f（t）的振幅是随时间按指数规律变化的，故f（t）不是周期信号。

（9）因f（t）不是无始无终的信号，而是有始无终的信号，故不是周期信号。