第1章 信号与系统的基本概念
1.1 信号的描述与分类
1.1.1 信号的描述
人类的发展需要人与人之间的交流,这种交流则依靠信息,因此,信息是存在于客观世界的一种事物现象,通常以文字、声音、图像或事先约定的编码等形式来表现。例如,在原始社会,信息交流主要以烽火、声音等形式通过人类感觉器官进行交流,这种方式无论是在信息传输速度还是在传输距离方面都受到限制。随着对电磁现象的认识,人们把这种含有信息的文字、声音、图像或编码等分别按一定规则约定而形成的符号统称为消息。这种消息是依附于随时间和空间变化的某种物理量。把这种随时间和空间变化的物理量统称信号。可见信号是消息的载体,是消息的表现形式,是通信的客观对象,而消息则是信号的内容。例如在通信工程中,一般将语言、文字、图像、数据等统称为消息,在消息中包含着一定的信息。传送消息必须借助于一定形式的信号(光信号、电信号等)。若信号表现为电压、电流、电荷等则称为电信号,它是现代科学技术中应用最广泛的信号。本书只涉及电信号。
信号描述可有多种方式,而一般常用的有下列三种。
(1)函数
因为信号通常是时间变量t的函数,所以对于某一类信号就可以用时间函数来描述,本书用函数f(t)表示信号。如正弦函数、指数函数等。指数信号的表示形式为
图1-1
(2)图形
信号随时间t的变化情况,我们可以通过专门仪器观测到其变化的轨迹——图形,因此也可以用图形描述信号。若所得到的图形是曲线,也称为信号的波形,如图1-1所示。
(3)数据
随着现代电子信息技术的飞速发展,相当一部分信号是用其采样点的数据表示,如飞行体的轨道观测返回数据等。
应当注意,信号与函数在概念的内涵与外延上是有区别的。信号一般是时间变量t的函数,但函数并不一定都是信号,信号是实际的物理量或物理现象,而函数则可能只是一种抽象的数学定义。
本书对“信号”与“函数”两个词相互通用,不予区分。例如,正弦信号也说成正弦函数,或者相反;凡提到函数,指的均是信号。
1.1.2 信号的分类
信号可按不同方式进行分类,通常信号分类如下。
1.确定信号与随机信号
按信号随时间变化的规律来分,信号可分为确定信号与随机信号。
确定信号(determinate signal)是指能够表示为确定的时间函数的信号。当给定某一时间值时,信号有确定的数值,其所含信息量的不同是体现在其分布值随时间、或空间的变化规律上。正弦信号、指数信号、各种周期信号等都是确定信号的例子。
随机信号(random signal)不是时间t的确定函数,它在每一个确定时刻的分布值是不确定的,只能通过大量试验测出它在某些确定时刻上取某些数值的概率。空中的噪声,电路元件中的热噪声电流等都是随机信号的例子。
严格说来,除通过专用仪器或设备产生一些有规律的确定信号外,一般实际的信号都是随机信号。因为若传输的是确定信号,则对接收者来说,就不可能由它得知任何新的信息,从而失去了传送消息的本意。但是,对于确定信号的分析仍然有着重要的意义,因为在一定条件下,实际信号与确定信号表现出某种相似的特性,例如,在一个较长的时间内随时间变化的规律比较确定,即可近似地看成是确定信号。可见确定信号是一种近似的、理想化了的信号,这样可以使实际问题分析大为简化,更便于工程的实际应用。
本书将主要研究确定信号,对于随机信号的分析于处理则在后续有关课程去研究。
2.连续时间信号与离散时间信号
按自变量t取值的连续与否来分,信号有连续时间信号与离散时间信号,如图1-2所示。
连续时间信号(continuous-time signal)是指自变量t取值是连续的信号,如图1-2(a)所示。对于该类信号在某一时间间隔内,对于一切时间值,除了若干函数不连续点外,函数都能给出信号确定的函数值。连续时间信号也简称为连续信号,电路基础课程中所引入的信号都是连续信号。
图1-2
离散时间信号(discrete-time signal)是指自变量t取值不是连续而是离散的信号,如图1-2(b)所示。该类信号只在某些不连续的时间值上给出信号的函数值,其他时间值上信号函数无定义。离散时间信号也简称为离散信号。
3.周期信号与非周期信号
按信号函数取值随自变量t的重复与否,确定信号可分为周期信号与非周期信号,如图1-3所示。
周期信号(periodic signal)是在时间上重复某一变化规律的信号,如图1-3(a)所示。
设信号f(t),t∈R,若存在一个常数T,使得
f(t-nT)=f(t)n∈Z (1-1)
则称f(t)是以T为周期的周期信号。从此定义看出,周期信号有三个特点:
①周期信号必须在时间上是无始无终的,即自变量时间t的定义域为t∈R。
②随时间变化的规律必须具有周期性,其周期为T。
图1-3
③在各周期内信号的波形完全一样。
非周期信号(non-periodic signal)是指不满足式(1-1)关系与上述条件的信号,如图1-3(b)所示。
4.功率信号与能量信号
信号还可以用它的能量特点表示,通常分为能量信号与功率信号。
为了知道信号能量或功率的特性,常常研究信号(电流或电压)在一单位电阻上所消耗的能量或功率。
信号的能量定义为在时间区间(-∞,∞)内信号f(t)的能量,记为
信号的功率定义为在时间区间(-∞,∞)内信号f(t)的平均功率,记为
能量信号(energy signal)是指信号能量有限,而信号平均功率为零的信号。此类信号只能从能量去加以研究,而无法从平均功率去考察。例如,非周期脉冲信号、只存在于有限时间内的信号是能量信号。
功率信号(power signal)是指信号平均功率有限,而信号总能量为无限大的信号。对于此类信号能量就没有意义,而只能从平均功率去考察研究。例如,在时间间隔无限大的情况下,所有周期信号都是功率信号。
存在于无限时间内的非周期信号可以是能量信号,也可以是功率信号,这要根据信号函数而确定。
5.有时限信号与无时限信号
若在有限时间区间(t1<t<t2)内信号f(t)存在,而在此时间区间以外,信号f(t)=0,则此信号即为有时限信号,简称时限信号,否则即为无时限信号。
6.有始信号与有终信号
设t1为实常数。若t<t1时f(t)=0,t>t1时f(t)≠0,则f(t)即为有始信号,其起始时刻为t1。设t2为实常数。若t>t2时f(t)=0,t<t2时f(t)≠0,则f(t)即为有终信号,其终止时刻为t2。
7.因果信号与非因果信号
若t<0时f(t)=0,t>0时f(t)≠0,则f(t)为因果信号,可用f(t)U(t)表示。其中U(t)为单位阶跃信号。因果信号为有始信号的特例。
若t>0时f(t)=0,t<0时f(t)≠0,则f(t)称为反因果信号,可用f(t)U(-t)表示。非因果信号为有终信号的特例。
信号还有其他分类形式,譬如按自变量多少还可以分为一维信号、二维信号与多维信号。声音信号是一种一维信号,而电视图像是二维信号。本书主要讨论的时间信号是一维信号,用f(t)表示。
【例1-1】试判断下列各信号f(t)是否为周期信号。若是,其周期T为多少?
(1)f(t)=cos(7πt+60°) (2)f(t)=cos2t+sin3t
(3)f(t)=cos10t+sin10t (4)f(t)=sin2t+cosπt
(5)f(t)=t2+1 (6)f(t)=sin2πt+cos5πt
(7)f(t)=(sin2t)2 (8)f(t)=e-2tcos(2πt+30°)
(9)f(t)=10cos4πtU(t)
解:(1)f(t)为周期信号,其周期
(2)f(t)为两个子信号f1(t)=cos2t与f2(t)=sin3t的和,即f(t)=f1(t)+f2(t),且
f1(t)=f1(t±n1T1),f2(t)=f2(t±n2T2)
其中,n1∈Z,n2∈Z(Z表示整数域)。则当n1与n2必须为不可约的整数)时,f(t)即为周期信号,其周期T=n1T1=n2T2。
有子信号cos2t的周期为,子信号sin3t的周期为。故有
由于已为不能再约的整数比,故f(t)为周期信号,其周期T为
(3)子信号cos10t的周期为,子信号sin10t的周期为0.2π(s)。故有
可见f(t)为一周期信号,其周期T为
T=1T1=1T2=0.2π(s)
此题也可用下述方法判断,即
可见f(t)为周期信号,其周期为
(4)子信号sin2t与cosπt的周期分别为。故有
可见不是整数比,故f(t)不是周期信号。
(5)f(t)是一个二次曲线函数,显然不是周期信号。
(6)子信号sin2πt与cos5πt的周期分别为。故有
可见f(t)为周期信号,其周期为T=2T1=5T2=2(s)。
(7)因,故f(t)为周期信号,其周期
(8)因f(t)的振幅是随时间按指数规律变化的,故f(t)不是周期信号。
(9)因f(t)不是无始无终的信号,而是有始无终的信号,故不是周期信号。