1.2 高速电路中的电阻

1.2.1 电阻器的阻抗频率特性

在集总参数电路中，电路由集总元件构成。集总元件假定发生的电磁过程都集中在元件内部进行。集总参数电路中u、i可以是时间的函数，但与空间坐标无关。任何时刻，流入两端元件一个端子的电流等于从另一个端子流出的电流；端子间的电压为单值量。

集总元件如电阻、电容和电感等集总的条件是其（电路）尺寸l≪波长。例如，对于50Hz的工频信号，其波长为6000km，目前任何一个电器设备的（电路）尺寸总是远小于其波长6000km。

在高速电路中，随着信号频率的升高，波长不断缩短，如一个3GHz时钟信号的基波波长仅为10cm，其谐波波长则更短。当集总元件的（电路）尺寸不能够满足l≪波长时，将使得集总电阻、集总电容和集总电感的特性不具有“纯”的电阻、电容和电感的性质，电路的分布（寄生）参数将其作用，这是在高速电路设计、模拟和布线过程中必须注意的。

一个电阻器的高频等效电路如图1.2.1所示，图中两个电感L等效为引线电感；电容Cb表示电荷分布效应，Ca表示为引线间电容，与标称电阻相比较，引线电阻常常被忽略。电阻器的阻抗频率特性如图1.2.2所示，在低频频段，电阻的阻抗是R；随着频率的升高，寄生电容的影响成为引起电阻阻抗下降的主要因素，电阻呈容性；然而随着频率的进一步升高，由于引线电感的影响，电阻的总阻抗上升，电阻呈感性。在很高的频率时，引线电感会成为一个无限大的阻抗，甚至开路。

目前，在高速电路中主要应用的是薄膜片状电阻，该类电阻的尺寸能够做得非常小，可以有效减少引线电感和分布电容的影响。片状电阻的类型（尺寸）有01005～2512，功率范围为0.031～1W，阻值范围为0.1Ω～10MΩ，外形如图1.2.3所示，尺寸如表1.2.1所示。从表1.2.1可见，最小尺寸的01005的片状电阻，封装尺寸仅0.4（长L）mm×0.2（宽W）mm×0.13（高h）mm。

表1.2.1 片状电阻的尺寸

1.2.2 互连线的电阻

为减少寄生参数的影响，高速IC芯片在不断改进封装形式，一些高速IC芯片封装例如图1.2.4至图1.2.10所示。其中，图1.2.8至图1.2.10采用陶瓷柱栅阵列（CeramicCol-umnGridArray，CCGA）封装形式。

在高速电路中，存在着IC封装的键合线、引脚和PCB上的走线等各种互连线。在导线两端加上电压，导线中流过电流，根据欧姆定律知道有电阻R=u/i。

对于一条横截面恒定的导线，其电阻值可以用下述公式近似计算：

式中，R为电阻值（Ω）；ρ为导线的体电阻率（Ω·cm）；l为导线的长度（cm）；A为横截面积（cm2）。

例如，一条长为0.2cm（即80mil），直径为0.0025cm（即1mil），体电阻率为2.5μΩ·cm的金键合线，其电阻为0.1Ω。

注意：体电阻率是材料的固有特性，是对材料阻止电流流动的内在阻力的度量。它与材料大小无关，边长为1mil的铜与边长为1in的铜有相同的体电阻率。体电阻率的单位是欧姆·长度单位，如Ω·in（欧姆·英寸）或Ω·cm（欧姆·厘米）。常用互连线材料的体电阻率如表1.2.2所示。

由于工艺条件的不同，如是否经过电镀、非电方式淀积、喷涂、包金、挤压或退火等处理，大多数互连线材料的体电阻率的变化范围高达10%，如铜的体电阻率为1.5～1.8μΩ·cm。

表1.2.2 常用互连线材料的体电阻率

Xilinx公司的一些封装形式的电阻参数如表1.2.3至表1.2.5所示。

表1.2.3 通用层压封装的电阻参数

表1.2.4 引线框架封装的电阻参数

表1.2.5 倒装芯片封装选择I/O的电阻参数

1.2.3 单位长度电阻

对于均匀横截面的导线，如IC引线或PCB上的线条，导线电阻与长度成正比，其单位长度的电阻如下所示：

式中，RL为单位长度电阻；R为线条电阻；l为互连线长度；ρ为体电阻率；A为导线的横截面积。

例如，一个直径为1mil、横截面均匀的金键合线，其横截面积A=π/4×1mil2=0.8×10-6in2，金的体电阻率约等于1μΩ·in，可以求得其单位长度电阻为0.8～1.2Ω/in。

注意：金键合线的单位长度电阻大约是1Ω/in。常见的长度为0.1in金键合线，其典型的阻值大约是1Ω/in×0.1in=0.1Ω；0.05in的金键合线，其阻值就是1Ω/in×0.05in=0.05Ω或50mΩ。

如果知道导体层的方块电阻（方块电阻概念见1.2.4节，方块电阻Rsq=ρ/t），就可以计算出单位长度电阻和该导体层中所有导线的电阻。

导线线条通常用宽度w和长度l来定义，所以导线的单位长度电阻也可以用下式计算：

式中，RL为单位长度电阻；R为线条电阻；Rsq为方块电阻；w为线条宽度；l为线条长度。

如图1.2.11所示，对于不同线宽，1盎司和0.5盎司的铜导线的单位长度电阻不同，线越宽，单位长度电阻就越低。一个5mil宽的线条，0.5盎司铜导线的单位长度电阻是0.2Ω/in，一个10mil宽的线条，0.5盎司铜导线的单位长度电阻是0.1Ω/in。

在常见的铜导体的PCB中，铜的厚度用每平方英尺（ft2，1ft=30.48cm）的铜的质量加以描述。所谓的1盎司铜就是表示电路板上每平方英尺的铜的质量为1盎司，1盎司铜对应的厚度约为1.4mil或35μm。0.5盎司铜对应的厚度是0.7mil或17.5μm。

例如，如图1.2.12所示PCB导线，对于1盎司（oz）铜有：当Y=0.0038cm时，ρ=1.724×10-6（Ω·cm），R=0.45Z/XmΩ。1个正方形电阻（Z=X），R=0.45mΩ/square。

如图1.2.13所示，一条1in（7mil）、1/2盎司铜的导线，流过10μA的电流产生的压降为1.3μV。

注意：在一个24位的ADC，1个最低有效位为298nV。

注意：所计算的这些阻值都是指在直流时或者低频情况时的电阻。随着信号频率的升高，由于趋肤效应的影响，高频信号分量在贴近导线表面的很薄的层上传播，虽然铜的体电阻率不变，但导线上的电流分布却发生了变化，这使导线的有效横截面积减小了，导线的阻值也将随着频率的升高而增加。例如，1盎司的铜导线在信号频率超过20MHz后，电阻值大致随着频率的平方根增加。

1.2.4 方块电阻

在印制电路板、共烧陶瓷基板和薄胶膜基板等互连线的衬底（基板）上，都具有几个均匀的导体平面层，可以根据版图模板再布成不同的线条。每一层上所有的导线都有相同的厚度，如图1.2.14所示。计算这种厚度相同的线条的电阻，可以采用如下公式：

式中，对于在同一层上的所有厚度为t的线条而言，ρ/t项是个常数。在同一层上的所有线条都具有相同的体电阻率和相同的厚度，所以ρ/t这一项称为同层方块电阻值Rsq。l/w是线条长与宽的比值，这是线条上能够划分的方块数目，用n来表示，n是一个无量纲的数。所以图1.2.14所示矩形线条的电阻可以写为

R=Rsq×n （1.2.5）

式中，Rsq为同层方块电阻值（Ω）；n为方块数目。

简单地理解同层方块电阻值（方块电阻），可以认为Rsq是正方形导体片断（也就是长等于宽）两端间的电阻。

当l=w，即长等于宽这种情况下，n=1，正方形线条两端的电阻就是方块电阻。对于正方形，不管其边长是10mil还是10in，其相对两端间的电阻是恒定不变的。如果仅长度加倍，阻值将会加倍；如果宽度也加倍了，其阻值将减半。

方块电阻Rsq=ρ/t，方块电阻的阻值与导体的体电阻率ρ和导体层的厚度t有关。已知1盎司铜对应的厚度约为1.4mil或35μm。0.5盎司铜对应的厚度是0.7mil或17.5μm。由此可得，1盎司铜的方块电阻Rsq为0.5mΩ/square；0.5盎司铜的方块电阻Rsq为1mΩ/square。

1.2.5 非理想互连与电源/地平面突变的影响

在实际PCB和封装的PDN（电源分配网络）中，存在大量的非理想互连与电源/地平面突变，如电源/地过孔、封装电源/地引脚、芯片键合线等。通常PCB的电源/地平面是比较理想的大面积导体，当电流从电源/地平面流向电源/地过孔、封装电源/地引脚、芯片键合线等非理想互连时，在这些非理想互连点，电流聚集在很小的导体区域内，就会发生如图1.2.15所示的电流非均匀的扩散及聚集现象，这个现象将严重影响PCB的电源/地平面的导电效果。

注意：前面讨论的理想导体的电阻计算方法，在存在大量的非理想互连与电源/地平面突变时，PCB和IC封装的电阻都不能采用前面讨论的方法估算，此时必须采用一些软件工具来提取PDN的寄生电阻。在PDN中，非理想互连与电源/地平面突变的影响才是关注的重点。

1.2.6 趋肤效应的影响

在直流和低频时估算导线的阻抗和电感，通常假设电流在导线中是均匀分布的。随着频率的升高，导线内部的电流分布随着频率而变化。

因为，在一条导线上通过电流，在导线的内部和外部都会产生磁力线，导线内部和导线外部的磁力线圈都能影响自感。为了区分它们，我们把自感分为内部自感和外部自感。圆导线的外部磁力线不会穿过导体，也不会随频率而变化。但导线内部的电流分布随着频率而变化，所以导线内部的磁力线也将发生变化。对于高频信号，任何频率分量都是沿最低的阻抗路径传播的。电感大的电流路径，其阻抗也最大；随着频率的升高，高电感路径的阻抗会变得更大。频率越高，电流越是倾向于选择电感较低的路径，即趋向于导线的外表面路径上流动。

在某一给定频率时，从导线内部到外部表面有特定的电流分布状态。电流分布状态取决于电阻与感性阻抗的相对大小。电流密度越大的地方，电阻性阻抗上的压降就越高。但是频率越高，内部路径和外部路径的感性阻抗的差别就越大。这意味着电流分布越趋向于导体的表面。

如图1.2.16所示，一个圆柱形导体，从导线中心到导线表面，随着频率的上升，电流分布以指数上升。图1.2.17把电流层近似成有固定厚度δ的均匀分布，δ被称为趋肤深度，它与流过导体的电流的频率、金属的电导率和磁导率有关：

式中，δ为趋肤深度（m）；σ为金属的电导率（S/m）；μ0为自由空间的导磁率（4×10-7H/m）；μr为导线的相对导磁率；f为流过导体的电流频率（Hz）。

例如，铜的电导率为5.6×107S/m，相对导磁率为1，所以它的趋肤深度近似为

式中，δ为趋肤深度（m）；f为流过导体电流的频率（MHz）。

注意：当PCB上的铜线为1盎司或者几何厚度为34μm时，若电流频率低于10MHz时，电流是均匀分布的，且与频率无关。若电流频率等于或大于10MHz时，在导线中的电流分布，趋肤效应将起主要作用。在高频，趋肤效应使得电流分布在导体的表面，电流趋向表面分布使得导体的有效面积减小了，从而增加了导体的电阻。