第4章 古代算术名家要述(2)

贾宪还创造了解高次方程的“增乘开方法”，处理的虽是最简单的高次方程，但却把正负开方术推广为一般高次方程解法的重要一步。后继者在此基础上不断研究探索，终于发展成为中国古代数学中独特的代数学理论。

贾宪创造的“增乘开方法”和“贾宪三角”都为我国古代数学赢得了极大的荣誉。

（七）沈括

沈括（1031—1095年），字存中，浙江钱塘（今杭州）人，生于宋仁宗天圣年间，是贾宪之后另一位作出重要数学贡献的宋代科学家。

沈括是一位博学家，他涉足的学术领域广，学识丰富，研究精深。沈括的兴趣是多方面的，政治、经济、文学、历史、地理、外交、军事以及各科学技术范畴都有所创见和论述，著作空前丰富。据《宋史·艺文志》录其著作有22种，155卷。他治学严谨，勤于探求理论与实践之间的正确关系，注重实地调查。他具有敏锐的观察能力，研究问题周密而精细，因此著述水平很高。像他这样多才多艺的全面人才，不但在数学史上极少，在整个世界史上也是罕见的。

《梦溪笔谈》是沈括晚年闲居润州梦溪园时完成的一部内容极其丰富的学术著作。现传本26卷，共有609条内容，其中一半以上的条目与科学技术有关。沈括在数学方面有独到的见解，其中“隙积术”、“会圆术”是两个著名的成果。此外沈括还运用组合数学概念归纳出棋局总数，记载了一些运筹学的简单例子。

沈括创导的“隙积术”是从立体体积问题推广为高阶等差级数求和。他所解决的垛积问题对后来数学的进展具有深刻的影响。所谓隙积，就是有空隙的堆垛体，例如酒窖里垛起来的酒坛，四个侧面是斜的，像底朝天翻过来的斗。沈括进行一番研究后，推导出了这种堆垛体的件数或体积的计算方法。“会圆术”是给出由弦、矢求弧的公式，沈括是中国数学史上由弦、矢给出弧长公式的第—人。

（八）李冶

李冶（1192—1279年），原名李治，字仁卿，号敬斋。金代真定栾城（今河北栾城县）人，是宋、元之交金代的一位著名数学家、文学家兼历史学家。他与秦九韶、杨辉、朱世杰并称为“宋元四大数学家”。

1230年，年近40岁的李冶考取词赋科进士，出任金朝钧州知事。1232年，钧州被蒙古兵攻占，李冶只当了两年小官，就开始隐居生活。李冶是当时北方著名学者。元世祖忽必烈曾多次召见，下诏要他当官，但他多次辞官不受。他喜爱读书，求知兴趣广泛，一生著述很多。1248年，他完成了数学名著《测圆海镜》12卷。1259年，他把前人的数学研究成果收集起来，加上自己的见解，写成《益古演段》3卷。

李冶毕生致力于数学研究，对中国古代数学作出了重大贡献。他在《测圆海镜》和《益古演段》中明确地用“天元”来代表未知数x。李冶的天元术和现代列方程的方法极为类似。“立天元一”是设未知数为x，以常数项为“太极”，在旁记“太”字，x的系数旁记“元”字。这种用“元”代表未知数的说法，也一直流传至今，如现在对有几个未知数的方程，我们就把它叫做几元方程。李冶的天元术，比欧洲l6世纪类似的半符号代数足足早了三百余年。李冶除解决了列方程问题外，还对高次方程的解法进行了创新，方程各项系数和常数项可正可负均可以解。李冶在天元术中，还创造了当时世界上最先进的小数记法。

李冶还总结了勾股容圆问题（讨论直角三角形内切圆与三边关系称为“勾股容圆”问题）。他在《测圆海镜》中提出了692条几何定理，经过证明，其中有684条都是正确的，其中有170个是勾股容圆问题。李冶把原来赵爽的研究向前推进了—大步，对我国古代关于直角三角形与圆的知识进行了全面研究和总结。《益古演段》一共有64道题，大都是各种平面图形的面积关系，解题方法往往是通过天元术和等积交换。李冶研究的数学问题，大多数都可以归结为解高次方程。

李冶是我国古代卓越的代数学家和几何学家，他能用代数方法自如地解几何问题，又擅长把数学问题通过图形直观地进行讨论。几何和代数结合起来，解决问题变得更加容易。这在世界上也是最先进的，直到17世纪笛卡儿发明解析几何为止。

（九）杨辉

杨辉，字谦光，钱塘（今杭州）人，是我国南宋杰出的数学家和数学教育家，生平不详。著有《详解九章算法》《日用算法》《乘除通变本末》《田亩比类乘除捷法》《续古摘奇算法》等书。后三种七卷一般总称为《杨辉算法》，现存本比较完善。

杨辉在《详解九章算法》中最早转载了贾宪的“增乘开方法”和“开方作法本源”图。此书部分已失传，《永乐大典》中还保存了一部分。杨辉在《详解九章算法》中收录的“开方作法本源”图，是二项式展开的各项系数排列图，使后人知道我国发现这种排列规律，比欧洲的帕斯卡要早四百多年。因此在我国后人也称这图为“杨辉三角”，这是杨辉的一大贡献。在《详解九章算法》中，杨辉还论述了级数求和问题。他和北宋的沈括、元代的朱世杰，同为世界上最早研究高阶等差级数的人。

杨辉的《详解九章算法》全面解释了《九章算术》的原题目，对注家的注释也择其重点逐句分析。杨辉除了介绍解题方法之外，为后学者着想还特地附有“细草”（图解和算草）。杨辉还对《九章算术》原书的题目进行“比类”：一是与原题算法相同的例题；二是与原题算法可相比附的例题。

杨辉在他的《田亩比类乘除捷法》中，编入已经失传了的12世纪数学家刘益所著《议古根源》一书中的一些方程问题，其中有一题为四次方程，这是对高次方程的最早记载。我国宋、元数学家之所以能取得首创高次方程数值解法的卓越成就，杨辉也有不可磨灭的功劳。

杨辉的《续古摘奇算法》中有不少是趣味数学题，例如书中引人入胜的各式各样的“纵横图”，是世界上对幻方的最早的系统研究和记载。

杨辉在《续古摘奇算法》和《算法变通本末》中，不满足于利用已有的方法，强调了理论根据的重要，并对一些几何命题进行了理论证明，这对中国古代演绎几何学的独立发展，起了很大的推动作用。

杨辉治学态度严谨，经常对前人著作的讹误提出批评，并指明正确的修正意见。杨辉在编辑各种数学著作时，旁征博引，学识非常渊博，是一位历史上不可多得的学者。

（十）秦九韶

秦九韶（1202—1261年），字道古，普州安岳（今四川安岳）人，南宋末年著名的数学家。早年曾经随父亲访习于太史局，长大后自己又去湖北、安徽、江苏各地做地方官吏，见闻甚广，多才多艺，对天文、音律、数学、建筑无一不精通。在数学方面，他善于结合当地实际生产和生活需要，将枯燥无味的数学变得妙趣横生。

1247年左右，他写成了一部二十多万字的《数书九章》，这是一部划时代的巨著，内容丰富，论说新颖。全书采用问题集的形式，一共收入了81个问题，每个问题之后多附有演算步骤和解释这些步骤的算草图式。《数书九章》是中世纪中国数学发展的一个高峰，是一部极为珍贵的数学著作。

秦九韶有多方面的数学成就，其中最著名的是“大衍求一术”（一次同余式组解法）和高次方程的数值解法。秦九韶用“正负开方术”可以解任意次方程。“大衍求一术”和现代的求最大公约数的辗转相除法类似，西方对这类问题的类似研究要比秦九韶迟五百多年。《数书九章》中还改进了联立一次方程组的解法，《九章算术》中采用的是“直除法”，秦九韶将之改用“互乘法”。这和今天的“加减消元法”完全一致。在书中，秦九韶还提出了“三斜求积术”，即已知三边求三角形面积的公式。这与西方有名的“海伦公式”是等价的。

秦九韶对中国古代数学作出了杰出的贡献，并且具有世界声誉，美国当代科学史家萨顿就说过秦九韶是“他那个民族、他那个时代，并且确实也是所有时代最伟大的数学家之一”。

（十一）朱世杰

朱世杰，字汉卿，号松庭，寓居在北京附近，籍贯、生平不详。他曾在各地周游二十多年，广收门徒，由此可以推测他是以讲学为生的专业数学家和数学教育家。朱世杰留下的著作有《算学启蒙》和《四元玉鉴》，这两部光彩夺目的著作都曾一度在国内失传。道光年间找到了《四元玉鉴》，《算学启蒙》则流传到了朝鲜，朝鲜把它定为教科书，后来又辗转回到中国。

《四元玉鉴》是一部划时代的杰作，书中叙述了朱世杰在世界上首创的“四元术”和“招差术”以及几何、代数上的若干问题。“四元术”建立了四元高次方程理论。朱世杰用天、地、人、物表示四个未知数，相当于现代的x、y、z、u，用“天元术”加以扩展列出方程。解高次方程组的关键是消去法，而“四元消去法”就是四元术的中心问题。朱世杰所用消元法，对任意高次方程组都是适用的，这在当时世界上处于遥遥领先的地位。朱世杰还创造了研究高阶等差级数的普遍方法—招差术（逐差法），在世界数学史上第一次正确地列出了三阶等差级数的求和公式。他这一方法和现代的“牛顿公式”是一致的，提出时间却比牛顿要早将近四百年。

《算学启蒙》一书由浅入深，循序渐进，是一部很好的数学启蒙书籍。这本书全面地介绍了中国宋元时期的数学，在l7世纪传入日本，对日本数学的发展产生了较大的影响。这本书在各种计算方法和步骤上都有不少灵活巧妙的独创内容。

宋元时期是我国古代数学发展的一个高峰期，名家辈出，而朱世杰又是宋元数学家中出类拔萃的一位。秦九韶、李冶精于天元术，沈括、郭守敬擅长差分法，而朱世杰兼有二者之长。他将天元术推广成四元术，对差分法也有进一步研究，他的《四元玉鉴》是中国古代最杰出的数学著作之一。宋、元数学演进至此，达到了登峰造极的地步。