第3章 古代算术名家要述(1)

中华古算，代有人出。史籍中记载的伏羲画八卦、大挠造甲子、隶首作数、垂制规矩的传说，反映了先民对族中掌握一定数学知识的人物的崇敬。先秦诸子中，就有很多通晓数理的行家。据《宋史·礼志》记载，北宋大观三年（1109年）祀封“自昔著名算数者”，共55人上榜。清代阮元等人编纂的《畴人传》及续编、三编中，共有432名中国学者入传。中国古代数学发展史上涌现出了许多优秀的算术家，不能一一介绍，本章简单介绍其中一些比较著名的数学家。

（一）商高

中国古代最早的数学、天文学著作《周髀算经》上记载了昔日周公与商高的一段问答。周公问商周：“古时伏羲作天文测量和订立历法，天没有台阶可以攀登上去，地又不能用尺来量度，请问数是从哪里得来的呢？”商高回答说：“数是根据圆和方的道理得来的。圆从方得来，方又从矩得来，矩是根据乘、除法计算出来的。而计算则是‘治天下’所需要的。”这是有名的“周公问数”。

周公还请教了商高用矩之道。商高用六句话简明扼要地概括了这种方法：“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环距以为圆，合矩以为方。”这几句话在中国数学史上是十分重要的，表明了商高时代的测量技术以至整个数学的水平。

商高利用矩作为测量工具，运用相似三角形的原理“测天量地”，把测量学上升到理论，为后来的数学家推广复杂的“测望术”奠定了坚实的基础。勾股弦的关系和用矩之道是商高的主要成就。

关于商高的生平，历史上记载得很少。他是春秋时周朝人，周朝的大夫。商高的年代离我们太远了，我们甚至无法知道商高的生卒年份和身世，但他的科学创见却永远为后人纪念，他是世界上第一位被记载在史册上的数学家。

（二）赵爽

赵爽，名婴，字君卿。关于他的生平几无考证，只知道他的最大贡献是为《周髀算经》作过注。根据注中的内容，推测他是三国时期的吴国人，作注的年代大约是在222年之后。尽管缺乏有关赵爽的具体史料，但是从《周髀算经》注中仍可以了解到他的治学观点、数学成就和数学思想。

赵爽十分珍视古籍《周髀算经》，他用相当大的毅力对《周髀算经》作了注解。人们推测他是当时的一位隐士，只能在耕樵之余钻研数学。用他自己的话说是“负薪余日，聊观《周髀》”。从他为《周髀算经》所作的注来看，赵爽通晓当时中国已相当发达的数学知识，并取得了中国数学史上不容忽视的成就。

赵爽的数学成就，首推他的《勾股圆方图注》，全文不过五百多字，却精辟地阐述了勾股定理的证明、勾股弦的关系，并用几何方法证明了二次方程的解法。赵爽绘制了几幅《弦图》，结合弦图巧妙地证明了勾股定理，并得到关于勾股弦三者之间关系的命题共21条。《周髀算经》中关于量日高的问题，赵爽在注内最先给出日高公式和它的证明。在《周髀算经》注中，赵爽对分数运算概括出“齐同术”，为后来刘徽完整地总结齐同术作了重要的理论准备。

赵爽在数学上的成就，足以反映出他在数学思想方法上的深刻和活跃。在他之前的一些典籍包括《周髀算经》《九章算术》等，对一些主要数学原理的论述，通常只有结论而无论证。赵爽在为《周髀算经》作注时，对主要的数学原理都力图加以论证。在证明方法上，赵爽基本是通过平面图形的割补损益的等积变换方法：一是如果将图形分割成若干块，则各块面积之和等于原图形的面积；二是一个平面图形从一处移至另一处，面积不变。根据这个内容，常常可以求出两个图形之间的面积关系。赵爽对某些数学原理进行论证及在论证中对“出入相补原理”的开拓性工作，在中国古代数学史上具有重大影响。

（三）刘徽

刘徽，魏晋时人，生平不详。宋徽宗大观三年（1109年）礼部太常寺追封古代数学家爵位，刘徽被封为“淄乡男”，推测他大概是今山东淄博一带人。刘徽是我国古代数学理论的奠基者，他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》是我国宝贵的数学遗产。

刘徽在《九章算术注》中建立的数学理论是完整的。他全面证明了《九章算术》里的公式和定理，对一般算法中的一些主要的数学概念也给出了严格的定义，并根据定义的性质，说明了这些算法的道理。例如，他给比、方程组、正负数下了非常科学的定义，并运用这些定义有效地论证了算术中的分数加减法运算、代数中的方程组解法以及几何中利用相似三角形求解的问题。刘徽对《九章算术》中关于“今有术”（比例问题）和多位数开平方、开立方法则也作了精辟的阐述。刘徽的割圆术用极限的方法证明了圆面积的公式，把圆周率算到3.1416，这是当时世界上最精确的圆周率值。他用出入相补原理证明了勾股定理和许多面积、体积公式。他还用无穷分割的方法证明了方锥体的体积公式。在球体积的计算上，刘徽创造了“牟合方盖”这一立体模型。

刘徽在数学方面的主要成就是注《九章算术》，他把自己大部分的数学研究成果写进了他的“注”中，很多方面都达到了当时世界上最先进的水平。刘徽的功绩可以概括为两个方面，一是对中国古代数学体系进行了理论整理；二是推陈出新，进行了一些开创性的工作。

（四）祖冲之和他的儿子祖暅暅

祖冲之，字文远，范阳遒县（今河北定兴县）人，生活在南朝宋、齐之间，当过南徐州从事史、公府参军等职。祖冲之生长在科技世家，自幼爱好数学和天文，把毕生精力都献给了祖国的科学技术事业。他学习前人，重视实践，通过观测、计算，制定了著名的《大明历》，还写出了很有价值的数学专著《缀术》。《缀术》博大精深，在唐朝曾被国立学校列为必读教材，要学四年，是学习期限最长的算书，可惜后来失传了。

祖冲之是代表中国古代数学高度发展水平的杰出人物，“开差幂”是已知长方形的面积及长宽之差求其长与宽；“开差立”是已知长方体的体积及最短棱与其他两棱其他求其长、宽、高。

祖冲之的科学成就在我国科学技术发展史上永放光芒，他在世界科学史上也享有崇高声誉。人类第一次发现的月球背面的一个环形山谷，就是以“祖冲之”来命名的。

在祖冲之的教育、熏陶下，他儿子祖暅、孙子祖皓，家学相传，擅长历算。祖家是我国有名的科学世家。祖暅是一位博学多才的人，他对历法很有研究，曾两次建议修改历法，他指出其父所制定的《大明历》可以纠正《元嘉历法》的差错。后经梁朝太史令等实测天象，朝廷采纳了他的意见，启用《大明历》推算历书。

祖暅继承其父遗训，整理编辑了数学专著《缀术》六卷。最为突出的是他发现了等积原理：“幂势既同，则积不容异”。后人称为“祖暅定理”，即夹在两个平行平面间的几何体，如果被平行于这两个平面的任何平面所截得的两个截面的面积都相等，那么这两个几何体的体积相等。祖暅用等积原理推导出了球的体积公式。

（五） 王孝通

王孝通，唐初的历算家，籍贯身世、生卒年代不详。据《旧唐书》等记载，他在唐武德年间任历算博士，后来升任太史丞，参与修历。

王孝通在数学上的最大成就是著作《缉古算经》。《缉古算经》是《算经十书》中最晚出的一部。除了已失传的《缀术》外，它是最难懂的一种，按唐朝国子监算学馆的规定，这本书要学三年。

《缉古算经》共包括二十道题目，其中有关于天文历法的题、土木工程的土方计算的题、仓房和地窖大小的问题、勾股问题等，都具有相当的难度。《缉古算经》的大部分问题都要用高次方程来解决，在隋唐时期算是比较高深的数学理论。王孝通很擅长依据实际问题列高次方程，他在每一条有关高次方程的术文下，都用注来说明方程的各项系数的来历。在古代，没有现代的符号代数，要由实际问题列出开方式（即高次方程）是非常不易的事情。王孝通关于三次方程的解法有巨大的学术价值，《缉古算经》用开带从立方法解决实际应用问题，不仅是中国现存典籍中最早的这方面记叙，在世界数学史上也是关于三次方程数值解法及应用的最古老的珍贵著作。六百多年后，斐波那契才得出一个三次方程的数值解，至于一般三次方程的代数解法直到16世纪才出现在意大利人的著作中。

《缉古算经》中王孝通最得意的创作是建筑堤防的土方问题—“堤积”问题。他假设河岸不是平地，堤防的底面是一个斜面，而顶面是平的，那么堤的垂直横截面是上底相同而高不相等的梯形。王孝通将它分成两部分求体积：上部是一个平堤的体积，下部是一个具有梯形底及两斜侧面的楔形体（叫羡除）的体积，这样得到一个整个堤的体积计算公式。这个公式具有创造性的价值和贡献。

王孝通的《缉古算经》的开方术继承了《九章算术》及刘徽注的传统，在开带从立方方面又有创新，给中国古代的代数学砌成了一个新的阶梯，使后继者沿着它不断攀登，发展了中国古代的高次方程数值解法。

（六）贾宪

贾宪是我国北宋时期杰出的数学家，生平不详，仅知道生活于11世纪上半叶，任过左班殿值，著有《黄帝九章算法细草》，但此书早已失传。书中记有“开方作法本源图”，数学史家称之为“贾宪三角”，实际上是一个正整指数的二项式系数表。这个数表在西方称为“帕斯卡三角”，帕斯卡最先用数学归纳法证明了这个数学三角形的性质，并第一个正式指出这个数字三角是二项展开式的系数表。贾宪三角是11世纪中国数学的优秀成果之一，它是方程论的重要内容，后来又由此导出垛积和无穷级数的若干重要结果。