1.7　考虑余数

我：“我把你无法接受的地方写出来吧。”

由梨的疑问

设为大于或等于0的整数（=0、1、2、3……）。

① 若为3的倍数，则加上另一个3的倍数，仍是3的倍数；

② 若不为3的倍数，则加上一个3的倍数，仍不是3的倍数。

由梨：“嗯，正是如此。我知道这是对的，但我无法‘瞬间了解’。”

我：“你想想除以3的余数吧。”

由梨：“余数，除以3的余数？”

我：“没错，就是余数。除以3，余数有3种可能吧？即0、1与2。”

由梨：“‘余数为0’是指‘没有余数’，一般把这种情况称为‘整除’吧？”

我：“是啊，一般会这么说。总之，除以3有3种可能。”

由梨：“嗯。”

我：“我们用图来表示这些可能的情况吧。”

由梨：“这是什么啊？”

我：“先画3座‘岛’，分别命名为0之岛、1之岛、2之岛。再将0、1、2、3等数按照以下方式，放入这些岛。”

● 除以3，余数为0的数，放入0之岛。

● 除以3，余数为1的数，放入1之岛。

● 除以3，余数为2的数，放入2之岛。

由梨：“哦……”

我：“如此一来，0被放入0之岛，1被放入1之岛，2被放入2之岛。”

由梨：“嗯。”

我：“3被放入哪座岛呢？没有3之岛哦！”

由梨：“3被放入0之岛，因为3除以3的余数是0。”

我：“没错，3被放入0之岛，4被放入1之岛，5被放入2之岛……”

由梨：“我知道了，你不用再说了，就是从0之岛、1之岛到2之岛，将数依序放入这3座岛，形成循环吧？”

我：“没错。”

由梨：“只要加1，数就会跑到下一座岛。”

我：“没错，按照箭头的方向循环，由图可知，一个数加3，会留在原来的岛上。”

由梨：“啊，真的呢！因为加了3次1，所以会回到原来的岛。”

我：“这样想即可‘瞬间了解’。”

由梨：“咦？对呢！‘某数加上3的倍数’，虽然可能循环了好几圈，但还是会回到原来的岛。”

我：“没错，加上3的倍数代表加了好几次3。因为加上3的倍数，数仍会留在原来的岛，所以‘不会影响它原本是否为3的倍数’。”

由梨：“我完全明白。某数加上3的倍数，不会改变这个数是否为3的倍数的性质，加上3不会改变，加上6和9也不会……”

我：“小于1000的数证明完毕。我刚才说要进行更一般化的证明吧？数学有趣的地方现在才开始，听好了。”

由梨：“等一下，哥哥。”

我：“哎呀，又怎么了？”