3.1.4　数值的补码表示法

观察图3.6中的时钟，这是一个分成了12个点的圆。假设时钟指针一步只能走到相邻的整点，那么时钟一共只有12种不同的状态，我们称之为时钟的模。

图3.6　时钟解释补码

现在时钟指针指向了5点，我们要让它回到0点。有两种方法可以实现：一种是直接回退5个小时（5-5），如图3.7所示；另一种是继续往前走7个小时（5+7），如图3.8所示。

图3.7　时钟5-5

图3.8　时钟5+7

在第二种方法中，5+7=12，而12刚好是时钟的模，此时指针指向了0。

为了让指针回到0点，我们只需要让它加上模与当前时间的差即可。因此，指针回退5小时与指针前进7小时是等价的。我们可以用指针前进来代替指针后退。

将这种思想带入三位二进制中，我们知道三位二进制能表示8个不同的数字，因此它的模为8。要让3回到0，我们可以让3减去3，也可以让3加上模与3的差，即8-3=5。因此，在三位二进制中，-3可以用5的二进制表示（即101）。

这种用加法来等效减法的二进制表示法被称为补码表示法。

在补码表示法中，正数的补码就是其二进制本身，而正数对应的负数的补码为模减去正数的二进制。负数的补码为模与正数的差的二进制，如图3.9所示。

补码表示法通过最高位区分正数和负数，并且巧妙地应用了溢出，所得到的计算结果也是正确的。类似于钟表只需要向前走就可以实现减法，计算机的电路设计也只需要设计加法电路，极大地简化了计算机内部电路的复杂程度。

当然，求一个正数对应的负数的补码也有一个更为简单的方法，如图3.10所示。

（1）先写出这个正数的二进制。

（2）从二进制的右边开始，在遇到第一个1之前，全都填0。

（3）遇到第一个1之后，填1。

（4）将遇到1之后的全部取反。

图3.9　负数的补码为模与正数的差的二进制

图3.10　计算补码的简单方法