第2章　随机变量及其分布

一个随机试验的结果全体构成一个基本空间S，可以把这个试验的所有可能的结果用实数表示。例如当抛硬币时，可能的结果是正面朝上和反面朝上。如果定义一个随机变量X，当正面朝上时，X取值为1，当反面朝上时，X取值为0。又例如抛一个骰子，它所有可能的结果是1点、2点、……、6点，如果定义一个随机变量X，当出现i点时取值为i。这样定义的随机变量是定义在Ω上取值为实数的函数。也就是说，基本空间S的每个点，都有实数轴上的点与其对应，由此可以利用现代数学工具来研究随机现象。

对于随机变量，主要关注它的以下4方面。

（1）分布律：随机变量在实数轴取不同值的可能性大小的刻画，是随机变量的分布规律。

（2）分布函数：单调递增的用于定义概率值的函数，是分布“规律”的另一种描述。

（3）分位数：分布函数的反函数，用于计算给定概率值的临界点，在统计学中经常使用。

（4）随机数：数值模拟中经常需要产生符合某种分布的随机数，主要用于随机模拟和计算。

分布函数（Cumulative Distribution Function, CDF）是概率统计中重要的函数，正是通过它，可用数学分析的方法来研究随机变量。分布函数是随机变量最重要的概率特征，分布函数可以完整地描述随机变量的统计规律，并且决定随机变量的一切其他概率特征。

分位数（Quantile），也称分位点，是指将一个随机变量的概率分布范围分为几个数值点，常用的有中位数（二分位数）、四分位数、百分位数等。

随机数一般指伪随机数，它是用确定性的算法计算出来的随机数序列，并不真正随机，但具有类似于随机数的统计特征，如均匀性、独立性等。在计算伪随机数时，若使用的初值（种子）不变，则伪随机数的数序也不变。伪随机数可以用计算机大量生成，在模拟研究中为了提高模拟效率，一般采用伪随机数代替真正的随机数。模拟中使用的一般是循环周期极长并能通过随机数检验的伪随机数，以保证计算结果的随机性。

本章介绍概率论的基本概念，主要包括以下内容：

（1）随机变量及其分布函数。

（2）离散型随机变量及其分布律。

（3）连续型随机变量及其概率密度。

（4）随机变量函数的分布。