前言

源远流长千景好， 根深叶茂万花娇。

阿基牛顿南天远， 黎曼高斯北辰高。

符号神奇织锦绣， 语言美妙远尘嚣。

物皆数理凭计算， 事尽逻辑任推敲。

这是作者在2018年写下的《数学颂》，其中谈到数学的两个重要方面——计算与逻辑推理。事实上，由于数理逻辑的出现，逻辑推理也可以变成数学计算。可见，计算能力是学习数学的重要方面。

小学数学主要讲算术计算。可以毫不夸张地说，算术计算几乎是小学数学的全部。虽然小学数学中也有一些几何计算和一些简单的代数方程，但是其解决手段还是靠算术计算。也许有人会说，数学思维能力不是更重要吗？这个固然重要，但是在小学阶段，数学思维能力主要靠算术计算能力来培养和支撑。初中生学习代数时，会学到平方差公式、完全平方公式等大量优美的代数公式。可是，大家想过没有，这些公式有什么用处呢？除了更为普遍的意义外，它们是数的计算规律的总结，可以直接用于算术计算。换句话说，它们提供了算术计算的一些更为有效的方法。高中生会学习等差数列、等比数列等的求和方法，这些实际上是一些特殊情形下的加法速算方法，还是在进一步讲算术计算。到了大学的线性代数课程，所谓的行列式、方程组、矩阵等都涉及大量的算术计算。至于概率、函数、微积分、几何，尤其是解析几何，它们也都离不开算术计算。物理和化学概莫能外。

总之，算术计算能力对于所有层次的学生来说都很重要。小时候计算能力不过关的同学，基本上会被中高考所淘汰。即便是理工科大学生，倘若算术计算能力薄弱，也必然会为其所累。

计算能力不足往往表现为慢和错，要么计算速度跟不上，要么一算就错。计算能力不足还有一个表现，就是口算能力太差，对于像两个两位数的乘法、三个三位数的加法等如此简单的计算题，许多孩子还需要动笔，离开了计算工具就不知所措。

有些孩子和家长可能也知道计算的重要性，但就是不清楚该从何处下手加以改进和提高。一些速算视频的极端表演以及有关最强大脑的片面宣传，让很多人错误地认为速算达人是天才，计算能力是天赋。其实不然，速算达人要靠勤奋，计算能力要靠训练。当然，都要靠正确的理论和方法来指导。普通的学生不一定都要达到速算达人那种不可思议的计算速度，但是适当学习一点速算知识，在熟练掌握传统计算方法的基础上灵活运用一些计算技巧，从而提高计算的准确性和速度，是十分必要的，也是力所能及的。对于大部分孩子来说，只要正确理解数和运算的概念，懂得原理，掌握方法，适当练习，就可以轻松提升计算能力。这里所说的计算包括笔算和心算，也包括二者的结合。

正是基于以上想法，我非常愉快地接受了出版社的邀请来写作本书，以助渴望轻松、快速提升计算能力的孩子及其家长一臂之力。

给小学生写书，并不是件容易的事。考虑到孩子们的阅读能力的局限性，在写作方式上就颇费思量。另外，小学一共有5年或6年，数学教材有10册或12册，要在一本书中比较全面系统地介绍与计算有关的内容，选材和呈现都是非常棘手的问题。

本书以别具一格的风格在较短的篇幅内比较全面系统地介绍了小学数学计算几乎所有的重要方面，内容包括20以内的加减法童子功、一位数加减法进阶、多位数加减法的计算技巧、一位乘数的乘法技巧、多位数的乘法技巧、除法的巧妙计算方法以及其他一些重要计算的关键内容。在不忽视常规计算方法的基础上，本书介绍了大量颇具特色的算术计算方法和技巧，其中既有传承又有创新，特别是九宫速算方法和梅花积方法是新时代速算理论的重要内容，也是我原创的方法。所有想要获得算术知识更新的朋友都可以从本书中获益。

第1章介绍20以内的加减法童子功，其中通过跷跷板来介绍加法的升降法，通过电梯的升降来讲同升同降减法，通过朋友分组来讲数字拆分法，通过五指来讲以5作为基准数的加减法，通过双手十指来讲以10为跳板的加减法以及补数的妙用，最后将加减法基本功归结为对于九九加法表的熟练掌握。

第2章是一位数加减法进阶，主要介绍非常直观高效的九宫图加减法速算理论，具体内容从九宫图数数方法开始，介绍加减法基本图式、从图上看补数对与进位的方法、九宫旋转法、众多一位数加减法心算、一些重要的加法图式、模式法在加减法速算中的应用、重心法等诸多新颖的内容。

第3章首先指出多位数加减法常规运算的关键点，然后重点介绍多位数加减法的一些别具特色的计算技巧，其中包括负数的加减法运算、大数字提前进位法与负数的运用、弃九弃十法、众多多位数的加减法心算、用九宫图心算多位数加减法的方法。最后，介绍一些简单数列的求和技巧与小数的加减法运算技巧。

第4章介绍一位乘数的乘法技巧，通过九九乘法表在九宫图上的完美表现给出快速记忆乘法口诀的诀窍以及运用九宫图计算多位数乘一位数的旋转法，通过负数得到乘法口诀的微改进，从而帮助孩子们提高乘法的计算速度。此外，还特别介绍了3，4，5，9这4个乘数的特殊乘法技巧。

第5章在强调常规方法训练意义的基础上介绍多位数的多种高效的乘法技巧，其中包括大智若愚法、利用负数做乘法的方法、平方的简便计算方法、乘法的基准公式、乘法速算基本公式、乘法的虚拟进位法以及任意多位数的乘法口算技巧，最后介绍小数乘法的方法和技巧。该章的大智若愚法是从传统的铺地锦方法发展出来的新方法，而虚拟进位法与梅花积乘法则是作者原创的系统方法。

第6章在强调常规方法训练意义的基础上介绍除法的巧妙计算方法，其中包括乘法口诀微改进的应用、利用负数做除法的方法、乘除转化法、分数（百分数）的计算、分数与小数的转化、利用分数约分做除法的方法、任意多位数的除法口算技巧以及小数的除法运算技巧。该章的梅花积除法与上一章的梅花积乘法一起构成梅花积速算理论。

第7章介绍其他一些重要计算的关键内容，主要包括一些常见单位的换算、一些几何计算和算术四则混合运算，最后还介绍了算术平均数的计算方法、乘积和与乘积倒数和的计算技巧。

本书的特点可以概括为“四个结合”，即常规与特色结合、原理与方法结合、方法与实例结合、系统性与分散性结合。本书主要讲特色方法，同时也强调常规方法的基础地位。在介绍特色方法时，也会考虑到孩子们的接受能力，将原理与方法结合起来讲解，以便孩子们在理解原理的基础上掌握方法。另外，遵循一般与特殊相统一的思维规律，将方法与实例结合起来进行讲解，让孩子们通过具体的实例理解一般的算理和方法。要特别注意，虽然本书中有大量例题，但是目的是通过例题来阐述方法和原理，后者才是重点。所谓系统性与分散性结合，是指本书中的一些计算方法和理论具有系统性和普遍性，但是往往被分散到不同的章节进行介绍，以便孩子们能够循序渐进地理解和掌握它们。比如，负数技巧不仅适用于加减法，也适用于乘除法，当然更是梅花积速算理论的基础。而梅花积速算理论不仅包括乘法的梅花积方法，也包括除法的梅花积方法。又如，九宫速算方法不仅可以用于加减法速算，也可以用于乘除法速算。这些理论和方法分散在不同的章节，合起来就形成了完整的系统性方法。

下面谈一下关于本书的使用与学习方法。很多计算技巧很实用，但是涉及分数和负数，可是关于分数和负数的概念一般要在小学高年级或初中才介绍，因此我们在相关章节的标题后标注星号，以示区别。建议孩子们分3个阶段阅读本书：小学低年级时阅读不带星号的章节并加以练习，小学高年级时阅读带有星号的章节并加以练习，最后在学习完全书的基础上再完整地通读，加以系统化整理并进行综合训练。读书时，一要注意方法与实例结合，不仅要善于通过实例理解方法，而且要善于将方法用于更多的实例；二要注意常规训练与特色训练的结合，一定要在熟练掌握常规方法的前提下学习特色方法，不然就是本末倒置；三要加强训练和练习，如果只是纸上谈兵而不加以练习，就不能有效地掌握方法，更不可能真正提升计算能力；四要将单项训练与综合训练结合起来，因为不进行单项训练就失去了综合训练的基础，而不进行综合训练就不能融会贯通，也就失去了实现计算能力飞跃的机会。最后，对于不想花费太多时间来学习的孩子，还有一个选择性学习的方法，但是一定要注意方法的系统性，尽量融会贯通。比如，你只想学习乘除法的负数技巧，或者只想学习梅花积速算方法，这都是可以的，因为它们各自具有普遍的适用性。书中可能只讲了较为简单的例子，但是你要善于将所学的方法用于更一般的情形。

好了，万事俱备，只欠东风。工具和方法都有了，剩下的就靠你自己了。只要你能够参考上述建议，按部就班地进行学习和练习，就一定能够提升自己的计算能力。

最后，感谢我的家人，他们任劳任怨的付出使我能够远离烦琐的家务，从而专注于研究和写作。感谢本书的责任编辑刘朋，他为本书的编写提供了富有启发性的建议并做了大量细致耐心的编辑工作。感谢广大读者朋友，你们的鼓励和期待是我编写本书的灵感源泉和不竭动力。

2024年7月于烟台大学