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2.9.2 环
环是一种代数结构，2.9.1节讨论的群只定义了一种运算方法，要么是加法，要么是乘法，或者其他规定的运算法则。而在环中定义了两种运算，即加法和乘法都会在环中出现。
定义2.9.4 环(Ring)
令
为一个非空集合，集合里含有两种二元运算：+(加法)和×(乘法)。
1)
是一个交换群。
● 结合律。对所有的
有
。
● 同一律。如果有
，对于所有的
都有
。
● 反转律。对于所有的，存在
，使得
。
● 交换律。对所有的
有
。
2)
运算满足以下属性。
● 结合律。对所有的有
。
● 同一律。如果有
，对于所有的都有
。
● 交换律。对所有的有
。
3)
运算满足分配律：对所有的有
，
。
若满足以上构成条件，则称为一个环。
当
时，该环就是一个交换环。
例2.9.3 下面是两个环的例子。
●
是整数，也是一个交换环。但只有1和-1是
的单位元。
● 
也是一个环。