2.1　集合

什么是集合？读者可以把集合想象成一个盒子，盒子里面装着整数、分数、小数、复数或者字母中的一种或几种，甚至什么都没有。数量也可多可少，没有限制。

定义2.1.1　集合(Set)

集合指具有某种特定性质的事物的总体。集合中的每个对象叫作这个集合的元素。一般使用表示集合，表示元素在集合里。

集合具有确定性、无序性、互异性3个特征[8]。确定性是指如有一个集合和一个元素，那么这个元素只能属于或者不属于该集合，不存在模棱两可的情况;无序性是指如有两个集合，只要集合中的元素相同，无论如何排序，这两个集合都是相同的；互异性是指对于一个给定的集合，集合中的任何两个元素都是不同的。对于相同、重复的元素，无论多少，只能算作该集合中的一个元素。

集合还可以分为有限集和无限集。下面看一些简单示例。

● 表示所有整数集合，是无限集。

● 表示正整数集合，是无限集。

● 表示有理数集合，是无限集。

● 表示实数集合，是无限集。

● 表示正实数集合，是无限集。

● 表示复数集合，是无限集。

● 是有限集。

● 表示空集，是有限集。

● 是一个有限集。

在密码学中，密钥空间与密文空间是有限的，因此它们都是有限集。为了继续了解什么是集合，还可以将集合分为子集和真子集。

定义2.1.2　子集(Subset)

如果是的子集，当且仅当中的每个元素在中也会出现。记作。

定义2.1.3　真子集(Proper Subset)

如果且，则是的真子集。记作。

集合的子集与真子集示例如下。

●是的子集。

●是的子集。

● 是每一个非空集合的真子集。

如果定义两个集合是相等的，则需要满足且。这样就可以说集合。同时，需要注意区分和的区别。是元素和集合之间的从属关系；是集合与集合之间的从属关系。它们是不一样的，尽管关系非常紧密。设是集合中的一个元素，它们之间的关系可以表示为：

定义2.1.4　交集(Intersection Set)

与的交集记作，定义为:

定义2.1.5　并集(Union Set)

与的并集记作，定义为:

如果元素既在集合里又在集合里，那么和的交集就是和的并集是所有的元素和所有的元素放在一起以后的集合，对于相同的元素，只保留一个。

例2.1.1　集合，集合，求它们的交集和并集。

解：

交集：

并集：

定义2.1.6　差集(Difference Set)

集合与集合之间不同的部分叫作差集，记作，定义为：

需要注意的是，一般情况下集合之间的相减并不相等，即。

例2.1.2　。那么，。

定义2.1.7　补集(Complementary Set)

令集合为一个全集合。集合的补集，记作，定义为：

例2.1.3　，则。

并集、交集、差集、补集的示意图如图2-1所示。

图2-1　集合