1.3.2 凹凸性与拐点
从函数图像来看，有些函数是往上面凸的，而有些函数是往下面凸的 (见下页图).如果某个函数是下凸的，那么其导数应该是单调递增的；如果某个函数是上凸的，那么其导数是单调递减的.在此基础上，可以定义函数的凹凸性.
典型的下凸函数的图像
定义1.3 (凹凸性) 设函数 
二阶可导，若 
，则称 为下凸函数；反之，若 
，则称 为上凸函数.
例1.8 若 
，判断其凹凸性.
解答 计算得 
，因此 是下凸函数. ■
另外，所谓的“拐点”是函数图像凹凸性改变的点.等价地说， 
的极值点称为 的拐点.一个重要的例子是 Logistic 函数 (或称逻辑斯谛函数)，该函数可以用来刻画某个种群的数量变化，或者某种疾病感染者的数量变化.
例 1.9 考虑 Logistic 函数
.
设 
，判断其单调性和凹凸性，并写出其拐点.
解答 此时 
，计算得
.
注意到 
，因此 
在 
内单调递增；再注意到 
在 
内单调递增，在 
内单调递减.因此 的图像在 下凸，在 上凸，拐点 
(见下页图). ■
在这个函数表达式的基础上，可以进一步思考：这个函数的参数 
和 
有什么含义？计算得到 
，因此 代表的是初值；并且当 
时，
，因此 代表的是函数的极限；根据图像，还可以看出拐点处的函数值为 
.这有助于我们理解 Logistic 模型，并且和生物里的“S”形曲线联系在一起.
函数 
的图像
真题1.7（取自2020年 III 卷理数） Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域.有学者根据公布的数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数 
的单位: 天) 的 Logistic 模型: 
，其中 为最大确诊病例数.当 
时，标志着已初步遏制疫情，则 
约为 
.
A．60
B．63
C．66
D．69
解答 令
，
解得 
，因此 B 选项正确. ■
或许读者会在其他地方看到凸函数的等价定义.有时候，也称满足
的函数为凸函数，前面对应的是下凸的情形，后面对应的是上凸的情形.上述的等式也可以被拓展到 
个变量的情况.
定理1.4（琴生不等式） 设 是下凸函数，则有
;
设 是上凸函数，则有
,
上述不等式当且仅当 
或 
时取等.
琴生不等式可以用于证明 元均值不等式.考虑函数 
，则有 
， 
，因此 是上凸函数.于是，对正数 
，有
,
再结合 的单调性，即可得到
,
感兴趣的读者也可以尝试用琴生不等式得到其他的均值不等式.