1.1.4　函数定义的推广*

函数本质上是从数集 到数集 的映射，而所谓的“数集”，指的是实数集合 的子集，可以简单地写成 .是否可以将函数的定义进一步推广？下面举一些例子.

平面向量的模（向量的大小）是不是一个函数？如果 是二元数集，即 ，设向量 ，则向量的模实质上是从 到 的一个映射，可以写成

，

这样的函数叫作二元函数.类似地，可以定义 元函数.

在讲复数的时候，老师一般会说复数 和平面向量 是一一对应的.如果 ，那么映射 也是函数，例如

，

这样的函数叫作复变函数，复分析研究的就是复变函数的性质.

除了 以外， 是否可以是其他类型的集合？一个例子是，设函数的定义域是集合的集合，为了和集合区分，记作 ，并记里面的元素为 .用 表示二维几何图形， 表示二维几何图形的全体，例如单位圆可以表示为

.

考虑从 到 的映射 ，并令 表示 的面积，例如 .这样的函数称为测度，而为了严格化 和这样的函数，需要做不少工作，这便是测度论关心的内容.

如果集合 里面的元素不是数，而是一些抽象的元素，或者说 是一个抽象的空间，记作 ，那么映射 也是函数，并称为泛函.当然，这里的空间 是有一定要求的.泛函分析便是研究这样的空间和函数.