五、狭义相对论

狭义相对论的核心公式是洛伦兹变换。

下面我就来介绍一下从相对论的洛伦兹变换推出的一些重要推论。式（1.8）反映的是图1-11中两个相对做匀速直线运动的惯性系之间的坐标变换。为了下面讨论的方便，我们给出式（1.8）的逆变换：

（1.9）

二者完全等价。

同时的相对性

把式（1.8）的第四个方程两边微分，得

（1.10）

其中，dt = t2 - t1，dx = x2 - x1。考虑S系中“同时”发生在x1处和x2处的两个事件。S系中的观测者看到它们“同时”发生，也就是t1 = t2，dt = 0。但是，从式（1.10）可以得到一个奇怪的结论，由于这两个事件发生在S系的两个不同地点，，所以。也就是说，在S′系中的观测者看来，，这两个事件不是同时发生的。

同样，在S系中“同时”发生的两个事件，在相对于S′系做匀速直线运动的系中的观测者看来，也不是“同时”发生的。我们只要把式（1.9）的第四式微分

（1.11）

很容易通过类似的讨论得到这一结论。

这就是“同时的相对性”。同时的相对性从表面上看是和我们的日常生活经验相抵触的。

生活经验告诉我们，在相对做惯性运动的两个参考系中，在一个参考系里“同地”发生的两件事，在另一参考系里往往不是“同地”发生的。也就是说，“同地”是一个相对的概念。我们在日常生活中都有这方面的经验。例如在一辆匀速行驶的公交车上，一位乘客买车票，他把钱给售票员，售票员把票给他。由于乘客和售票员面对面站着没有动，车上的人都认为这两件事发生在车的同一地点。但是，在车下的路人看来，这两件事没有发生在马路的同一地点。当售票员收到钱再把票递给乘客时，车已经开出去十几米了。因此，两件事没有发生在马路的同一地点。所以“同地”是一个相对的概念，这一点大家都明白。

但是如果车上的两个地方，“同时”发生了两件事，车上的人和车下的人会有相同的看法吗？例如，有两个淘气的孩子，一个在车头，一个在车尾，“同时”各放了一个鞭炮（这是被禁止的行为）。警察来了，问：“是谁先放的？”车上的人一致认为是同时放的。那么车下的人呢？日常经验告诉我们，车下的人也觉得这两个鞭炮是同时响的。所以，在我们的日常生活中，“同时”似乎是一个绝对的概念。

相对论指出“同时”是相对的，似乎和我们的日常经验不符。这是为什么呢？相对论告诉我们，上述例子是由于车速不够快，如果车速非常快，快到接近光速，那么大家就可以感受到“同时”的相对性了。影响“同时”相对性的效应含在式（1.10）的因子中。由于公交车速度远远小于光速，即，所以这个因子完全可以忽略。然而，如果公交车（也许用星际飞船打比方更好）的速度v接近光速c，上面的因子的分母趋于零，这一效应就不能再忽略。同时的相对性将变得非常显著。

曾经长期困扰爱因斯坦，使他迟迟建立不起相对论的主要困难，就是他原先没有认识到“同时”不是一个绝对的概念，而是一个相对的概念。“同时的相对性”是他的光速不变原理的直接推论。当他想通了这一点之后，相对论的大厦很快就建立起来了。爱因斯坦在回忆自己构建相对论的关键突破时，强调了与贝索的讨论对他的启发，这个启发就是使爱因斯坦想到了“同时”不是一个绝对的概念，“同时”的定义与光速的特性有关。只要光速不变原理成立，“同时”这个概念就是相对的。

由于同时的相对性与人们的日常经验相抵触，因此很难被理解。理解这一点是读懂相对论的关键。

动钟变慢

现在我们来介绍相对论中的“动钟变慢”效应。为了讨论方便，我们在S系中沿x轴摆放一列钟，在S′系中沿x′轴也摆放一列钟，如图1-16所示。在S系中的这列钟是静钟。S系中的观测者把这列钟进行校准，让它们走得一样快。S′系中的观测者也把静置于自己系中的这列钟校准，让它们走得一样快。双方都认为自己的钟是静钟，对方的钟是动钟。

图1-16 动钟变慢

由于S′系沿x轴方向以速度v运动，S′系中的每个钟从S系中的这列钟身边掠过，与它们中的每一个只相遇一次。同样，S系中的每个钟也与S′系中的这列钟的每一个只相遇一次。那怎么比较它们的快慢呢？幸好，S系中的这列静钟已调整同步，S′系中的观测者也已把自己的这列静钟调整同步。所以，他们都只需盯住对方的一个钟（动钟），让它依次和自己的一列静钟比较快慢就可以了。

例如，S系的观测者盯住S′系中的A钟，由于A钟在S′系中静止，所以dx′ = 0，从式（1.11）可得

（1.12）

从式（1.12）容易看出，A钟每走1秒，即dt′ = 1秒，则S系中的钟走的时间将大于1秒，而且，A钟（也即S′系）运动速度v越快，dt就越大，如果A钟速度趋近光速，即v→c，则dt→∞。也就是说，高速运动的钟走1秒，静钟将走极长的时间，所以在S系中的观测者看来，高速运动的钟A时间走得非常慢。

同样，对于S′系中的观测者，只需盯住S系中的一个钟（动钟，例如B）来与自己这列钟比较就行了。由于B钟在S系中静止，所以dx = 0，从式（1.10）可得

（1.13）

进行类似讨论可知，S′系中的观测者也认为动钟B比他的一列静钟慢了。

总之，动钟变慢效应是相对的。

只要注意下面这一点，讨论这一效应时，就不会出现混乱：动钟是单独的，而静钟是一列钟，单独的动钟总是比一系列的静钟慢。

动尺收缩

设在S系中沿x轴放置一把尺子，对S系中的观测者而言它是静尺，长度为l0。在S′系中沿x′轴也放置一把相同的尺子，对S′系中的观测者而言它也是静尺，长度当然也是l0。他们都认为对方的尺子是动尺，自己的尺子是静尺。

要特别注意的是，测静尺的长度时，测尺子的两端的位置可以不受时间限制，可以测完一端再测另一端。但测动尺就不同了，观测者必须“同时”去测动尺的两端，否则动尺的移动就会造成测量发生错误。

现在我们讨论S系中的观测者去测静置于S′系中的尺子。对于S′系它是静尺，Δx′ = l0；对S系来说它是动尺，必须“同时”去测它的两端。我们把洛伦兹变换式（1.8）的第一式微分：

（1.14）

S系中的“同时”意味着Δt = 0，测得的动尺长度l = Δx，用式（1.14）可得

于是我们得到了动尺收缩的公式：

（1.15）

注意，它与当年洛伦兹假设的收缩公式［式（1.5）］完全一样。然而爱因斯坦对这个动尺收缩公式的解释却与洛伦兹完全不同。洛伦兹认为，这个收缩效应是绝对的：尺子在相对于以太（也即相对于绝对空间）静止的时候最长，是l0；如果这把尺子相对于以太（绝对空间）运动，它将沿运动方向发生收缩。而且，这种收缩具有实质性，构成尺子的原子中的电荷分布将会发生变化。

而爱因斯坦认为根本不存在绝对空间和以太。这一收缩效应是相对的，两个相对做匀速直线运动的惯性观测者，都认为相对于自己静止的尺子最长，为l0；静止于对方参考系中的尺子相对于自己是动尺，自己必须同时去测它的两端以得到它的长度，这时将会发现动尺长度收缩为l，如图1-17所示。

图1-17 动尺收缩

总之，相对论认为动尺收缩没有绝对意义，两个观测者都认为对方的尺子是动尺，产生了收缩。而且，这一收缩只是时空效应，构成动尺的原子并没有发生实质变化，例如，原子中的电荷分布依然保持原样。

考虑到这一收缩公式是洛伦兹首先提出的，爱因斯坦在相对论中依然称其为洛伦兹收缩。

相对论中的速度叠加

考虑图1-18所示的假想情况，如果有一列火车以v = 0.9c的速度向前行驶，车顶上有一个人以u′ = 0.9c的速度相对于火车奔跑，那么这个人相对于地面的奔跑速度u是多少？如果按照牛顿力学中的叠加公式，u = u′ + v。这个人将以1.8c的速度运动，看起来他将做超光速运动。然而，相对论中得到的速度叠加公式与牛顿理论不同，是

（1.16）

按照此公式，在车顶上奔跑的这个人无论如何也不可能超过光速。在上例中可以算出他相对于地面的速度约为0.9945c。

图1-18 相对论中的速度叠加

静质量与动质量

相对论发表之前，1901年，德国物理学家考夫曼在实验中发现，电子的质量似乎随运动速度的增加而增大，但他没有得出严格的公式。1904年，洛伦兹把他的动尺收缩效应应用于电子研究，首先得出了下面的质量公式，即洛伦兹变换公式（庞加莱称为洛伦兹变换和质量与速度的关系式），此式表明电子运动时质量会增加。

（1.17）

式中：m0是粒子静止时的质量，称为静质量；m是它运动时的质量，称为动质量。显然，对于属于同一种类的粒子（例如电子），静质量是一个常数，动质量则随粒子的运动速度变化，运动速度v越快，动质量越大。爱因斯坦的相对论用洛伦兹变换，也推出了这一质量公式。

目前，对于动质量是否算质量的问题，学术界有不同意见。这个意见首先是苏联物理学家朗道提出来的。朗道认为动质量和能量一样，是四维矢量的一个分量，在坐标变换下会发生变化；而静质量是个标量，对于具体的基本粒子还是常数。标量在坐标变换下不变，所以只有静质量才反映粒子的本质属性。他认为动质量不应算作质量，式（1.17）中的m只不过是个符号。朗道的观点目前是相对论界的主流观点。

有人说，爱因斯坦也同意这一观点。这种说法并不确切，爱因斯坦只是在通信中，对有人提出的“动质量不算质量”的观点表示“你也可以这样认为”。但是爱因斯坦从来没有在正式的文章和讲话中说“动质量不算质量”。

实际上，如果动质量不算质量，质量守恒定律将不存在。例如，电子和正电子就具有相同的质量，二者相撞就湮灭为两个光子，而光子没有静质量，只有动质量。这样，质量就不守恒了。

另外，动质量不算质量的观点，在粒子物理界并没有被接受，在相对论界也有一部分人存在异议。

质能关系

1881年，汤姆孙推测电磁场有能量，但他没有给出具体的结果。

1905年，爱因斯坦在他创建相对论的第二篇重要论文中，推出了如下的质能关系：

（1.18）

对于静止物体

（1.19）

此关系指出，质量和能量是同一事物的两面性质。凡是质量都具有能量，凡是能量都具有质量。

在此之前，物理学中的质量和能量是两个毫无关系的独立的物理量。现在，爱因斯坦指出它们具有实质联系，它们本质上是同一个物理量。

在牛顿的经典物理学中，质量有两个本质属性，一个反映物体惯性的大小（惯性质量），另一个反映物体产生万有引力的大小（引力质量）。现在，爱因斯坦又指出了质量的第三个属性：反映物体潜在的做功能力。这实在是太惊人了。

这里还要指出，质能关系反映的物体潜在能量（可以称为固有能量）是十分巨大的。

我们拿起一杯热水，从经典物理学的角度我们知道这杯水有能量，具体来说就是构成热水的分子具有热运动的动能。质能关系中的能量可不是指的这点热运动内能，这点内能太小了。按照质能关系可以算出，1克物质的固有能量释放出来，相当于2万吨炸药的能量。这杯水的固有能量如果以热和光的形式释放出来，足以炸毁一座大城市。

我们常常听到关于能源危机的讨论，认为人类面临能源短缺的难题。质能关系告诉我们，自然界并不缺乏能源，只是需要我们找到新的把固有能量转化为可利用的热能、光能和电能的方法。

经典物理学中的动能

下面我们看一下经典物理学中的动能在相对论中的位置。利用式（1.18）和式（1.19）不难得出

（1.20）

我们看到经典物理学中的动能只是相对论中物体动能的一级近似。

相对论中的能量、动量关系

从式（1.17）与式（1.18）不难得出相对论中能量与动量之间的关系

（1.21）

其中动量定义为

（1.22）

式中，m0是物体或粒子的静质量。

世界线与固有时

一个质点（例如一个人或一个物体）在三维空间中是一个点，但在四维时空中将描出一条线，这是因为时间总在流逝，任何人或物体都必须“与时俱进”。如果这个质点在三维空间中不动，它将描出一条与时间轴平行的直线；如果它做匀速直线运动，将描出一条斜线；如果做变速运动，将描出一条曲线。具体情况如图1-19所示。

图1-19 世界线

质点在四维时空中描出的线统称为世界线。如果它做亚光速运动，它或者它的切线（当世界线是曲线时）与时间轴的夹角将小于45°，这种世界线称为类时线；当它做光速运动（例如光子）时，与时间轴的夹角恰为45°，这种世界线称为类光线；当它做超光速运动时，与时间轴的夹角将大于45°，这种世界线称为类空线。由于相对论禁止超光速运动，所以有实际意义的只能是类时线和类光线。

在相对论中，任何观测者，不管他是静止还是在做各种亚光速运动，我们都可以设想他手持一个钟。这个钟相对于他静止，所记录的时间就是他经历的真实时间，我们称其为“固有时”。这个观测者描出的世界线的长度就是他经历的“固有时”。为什么呢？这是因为世界线的长度正是由他手持的钟所走的时间来定义、刻度的。

观测者和任何钟表都不能以光速运动（只有光才可以），所以类光线的长度不能用固有时度量，而要用另一种仿射参量。由于这个问题过于专业，我们这里就不多说了。

双生子佯谬

相对论提出后，法国物理学家朗之万提出一个有趣的问题：双生子佯谬。

这个问题说，有一对双胞胎兄弟，哥哥乘宇宙飞船去做星际旅行，弟弟留在地球上,若干年后哥哥返回，这时却发现自己比弟弟年轻了。这是真的吗？相对论认为这是真的。

我们看图1-20，横坐标代表三维空间，纵坐标代表时间。地球绕日的运动与飞船的星际航行相比可以忽略，所以弟弟相当于在三维空间中静止，他描出的世界线是一条与时间轴平行的直线，即图中的A线。哥哥做星际航行，先加速，达到高速后再做惯性飞行，到目的地附近再减速，考察完目的地后再以同样的方式返回，他描出的世界线是图中的B线。我们刚才已经说过世界线的长度就是描出这条世界线的人经历的时间，所以世界线长的人经历的时间多，会比较老，而描出较短世界线的人就会比较年轻。从图1-20来看，谁经历的时间长呢？似乎曲线B应该比直线A长，这样的话，描出曲线B的哥哥似乎经历的时间比地球上的弟弟长。可是刚才我们不是说重新相会时，哥哥会比弟弟年轻吗？这是怎么回事呢？

图1-20 双生子佯谬

这是因为我们刚才对A、B线的讨论上了几何的当。根据欧几里得几何，在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和，所以曲线B当然比直线A长。可是相对论中用的四维时空不是欧几里得时空，而是伪欧时空，图1-20中斜边的平方等于两条直角边的平方差，所以直线A反而比曲线B长。

因此，做星际航行的哥哥经历的时间短，返回时哥哥会比弟弟年轻。这个结论是相对论得出的正确结果。

这个效应明显吗？苏联物理学家诺维科夫曾经研究过两个例子。第一个是假设星际飞船到离我们太阳系最近的恒星比邻星附近去旅行。比邻星距我们很近，有多近呢？4.2光年，光走4.2年就到了，这在宇宙尺度上是个很近的距离。我们让宇航员以3倍的重力加速度（3g）加速，把飞船加速到25万千米/秒，然后关闭发动机让飞船做惯性飞行，这是为了节省燃料。飞船接近比邻星后，再以3g减速（不减速就撞上去了），到达那里考察完以后以同样的方式返回。宇航员觉得完成这次星际航行经历了7年。地球上的人呢？经历了12年，这是相对论计算出的结果。做宇宙航行的哥哥，比留在地球上的弟弟年轻了5岁。

有些人可能觉得这个结果不是太显著。于是诺维科夫和同伴又研究了一个到银河系中心去旅行的例子。太阳系距离银河系中心大约2.8万光年，也就是说光要走2.8万年才能到银河系中心。这么远，我们能去得了吗？相对论告诉我们可以。

这次设想飞船以2g（2倍重力加速度）加速，飞到路程一半的时候再以2g减速。到达那里考察完后再以同样的方式返回。

大家都知道，加速度越大，飞船达到高速就越快。但是加速度太大，宇航员受不了。例如以3g加速时，体重80千克的人将重达240千克，这样的变化一般人都承受不了，经过锻炼的宇航员也许能短时间承受。考虑宇航员身体的承受能力，这次让飞船以2g加速，体重80千克的人将变成体重160千克，比3g的例子好一点，但人也会很不舒服。上例中以3g加速，然后关闭发动机，宇航员处于失重状态，再以3g减速，又处于超重状态，这样变来变去可能更难承受。所以这次航行让飞船一直保持2g，虽然从2g加速变到2g减速也是一个变化，但只是惯性力的方向变了，大小没有变，宇航员始终保持160千克体重，也许这样会比体重变来变去好受一点。

那么，完成此次航行，宇航员经历了多长时间呢？相对论的计算告诉我们，经历了40年。小伙子出发时20岁，回来时60岁，似乎还可以接受。那么地球上的人经历了多长时间呢？6万年！这真是太惊人了，宇航员回来时他已经没有一个认识的人了，他的亲朋好友都早已作古，成为历史人物了。有朝一日如果真有人完成了这样一次星际旅行，人类一定会开一次盛大的庆祝会，欢迎自己6万年前的祖宗回来了！

对于根据相对论得出的上述有关双生子佯谬的结果，往往会有人怀疑。有人想，在我们看来，飞船加速出去，又加速回来，所以宇航员经历的时间短，显得年轻。那么从宇航员的角度看，是地球加速离开了飞船，旅行后又加速返回来，这样看来，不是地球人更年轻吗？似乎双生子佯谬可以得出相反的结论。

真相是，上面这个讨论是错误的，双生子佯谬不会得出相反的结论。这是因为地球上的人看飞船的加速是真加速，宇航员感受到了加速产生的惯性力；而飞船上的宇航员看地球的加速是假加速，地球上的人没有感受到惯性力。加速而没有感受到惯性力，这只是三维加速度，三维加速度是相对的。但是感受到惯性力的加速是四维加速度造成的，这是绝对的。所以，宇航员比地球人年轻的结论是肯定的，在学术界没有争议。