1.1.2 构建科赫雪花
下面来看看如何构建科赫雪花。图 1.2 展示了用于绘制科赫雪花的基本图案，以下称之为片段（flake）。这个片段基于长度为d的线段AB，该线段被分为等长的3部分（AP1、P1P3和P3B），其中每部分的长度都为r。P1并非直接连接到P3，而是经由P2连接到P3。P2是这样确定的：P1、P2和P3构成一个边长为r、高为h的等边三角形。点C为P1和P3之间的中点，它位于P2的正下方，因此AB和CP2是垂直的。
明白如何确定图 1.2 所示的各点后，就可递归地绘制越来越小的片段，从而构建出科赫雪花。大致而言，目标如下：给定点A和点B，需要计算点P1、P2和P3的坐标，并像图1.2那样将它们连接起来。要计算这些坐标，需要使用一些线性代数知识，线性代数是数学的一个分支，能够根据向量计算距离以及确定点的坐标。所谓向量，指的是有长度和方向的量。
图1.2 用于绘制科赫雪花的基本图案
下面介绍一个简单的线性代数公式，后面将用到它。给定三维空间中的点A和单位向量n（单位向量是长度为1的向量），要计算从点A出发沿这个单位向量移动距离d到达的点B的坐标，可使用下面的公式：
B = A + d × n
可通过示例轻松地验证这一点。假设点A的坐标为(5, 0, 0)，单位向量n为(0, 1, 0)，从点A出发沿这个单位向量移动10个单位到达点B，那么点B的坐标是多少呢？使用刚才的公式，可得到如下结果：
B = (5, 0, 0) + 10 × (0, 1, 0) = (5, 10, 0)
换而言之，要从点A到点B，需要沿y轴的正方向移动10个单位。
下面介绍另一个技巧，即垂直向量计算技巧（perpendicular vector trick）。假设有向量A= (a, b)，如果有另一个向量B，它与向量A垂直，那么可将它表示为向量B= (−b, a)。要验证这个关系，可计算A和B的点积。要计算两个二维向量的点积，可将两个向量的第一个分量相乘，并将第二个分量相乘，再将这两个乘积相加。在这里，A和B的点积如下：
两个向量垂直时，它们的点积为0，因此B确实垂直于A。
掌握这些线性代数知识后，回过头来看图1.2所示的片段。给定点A和点B的坐标，如何计算点P2的坐标呢？要到达点P2，可从点C出发，沿单位向量n移动距离h。根据前面的第一个线性代数公式可知：
下面来将变量代入公式。点C为线段AB的中点，因此C = (A + B) / 2。其次，h为边长为r的等边三角形的高。根据勾股定理可知：
在这里，r为点A到点B的距离的三分之一。如果点A的坐标为(x1, y1)，点B的坐标为(x2, y2)，可使用下面的公式计算它们之间的距离：
只需将这个公式的结果除以3，就可得到r的值。
最后，需要将向量 n 表示出来。假设 n 与向量
垂直，而向量可表示为点B的坐标减去点A的坐标：
向量的长度
。现在利用前面的垂直向量计算技巧，使用A和B来表示n：
接下来需要计算P1和P3的坐标，为此需要用到另一个线性代数公式。假设有线段AB，而点C位于这条线段上；同时假设a为A到C的距离，而b为B到C的距离。可使用下面的公式来计算点C的坐标：
要明白这个公式，可假设点C为线段AB的中点，此时a和b相等。在这种情况下，凭直觉就能知道C的坐标应该为(A + B) / 2。在上面的公式中，将所有的b都替换为a，结果如下：
有了这个新公式后，就可计算P1和P3的坐标了。这两个点将线段AB三等分，这意味着P1到B的距离为P1到A的距离的两倍（即b1 = 2a1），P3到A的距离为P3到B的距离的两倍（即a3 = 2b3）。将这些值代入前面的公式，可得到如下计算P1和P3坐标的公式：
至此，就获得了绘制科赫雪花分形的第1层级所需的一切：给定点A和点B，然后通过计算确定点P1、P2和P3。在这个分形的第2层级，将第1层级中片段内的每条线段（如图1.2所示）替换为更小的片段，结果如图1.3所示。
图1.3 构建科赫雪花的第2步
注意，对于图1.2所示的4条线段（AP1、P1P2、P2P3和P3B），以每条线段为基础构建了一个新片段。在绘制科赫雪花的程序中，将把每条线段的端点（如A和P1）作为新片段的A和B的值，并递归地执行生成图1.2所示点的计算。
在分形的每个层级，都将再次对片段进行替换，从而绘制出越来越小的自相似图形。这就是科赫雪花绘制算法中的递归步骤，此后不断地重复这个步骤，直到满足基线条件。基线条件应该为线段AB的长度小于特定的阈值，如10像素。到达这个阈值后，将只绘制线段，而不再递归。
为让最终绘制出的科赫雪花更漂亮，可在分形的第1步绘制3个相连的片段，这样结果将更像雪花，呈六角对称，如图1.4所示。
图1.4 合并3个片段
知道如何计算绘制科赫雪花所需的坐标后，下面来看看如何在Python中使用这些坐标来绘制图形。