前言
“叫我以实玛利吧。”这无疑是文学作品中最著名的开场白之一。我不得不尴尬地承认，长久以来我都没有勇气拿起《白鲸》这本书，它应该算是“必读书”中很容易让人产生负罪感的那一类作品。而且“必读书”的标签也激起了我的逆反心理，我担心它是否名副其实。幸亏有那么一天，我终于决定冒险尝试一番，毫不夸张地说，这本书改变了我的人生，它让我开始思考数学与文学之间的关系，并最终形成了你手中的这本书。
一切都始于我在无意中听到一位数学家说，《白鲸》里提到了“摆线”的概念。摆线是一条优美的数学曲线——数学家布莱士·帕斯卡觉得它是如此摄人心魄，甚至说思考摆线能缓解他的牙痛。但是，捕鲸从未被列入摆线的应用场景之一。怀着好奇心，我觉得该抽些时间阅读这本“伟大的美国小说”。令我惊喜的是，我发现《白鲸》从一开始就充满了数学的隐喻。跟随着梅尔维尔的笔，我发现了越来越多的数学现象。不仅仅是梅尔维尔，列夫·托尔斯泰还写到了微积分，詹姆斯·乔伊斯还写到了几何。数学家的形象甚至出现在风格迥异的作家阿瑟·柯南·道尔和奇玛曼达·恩戈兹·阿迪契的作品中，更不用说迈克尔·克莱顿在《侏罗纪公园》里的分形结构，或者那些统治了各种诗歌类型的代数学原理了。涉及数学思想的文学作品至少可以追溯到公元前414年阿里斯托芬的喜剧《鸟》。
偶尔也会有针对特定文学流派或作者写作风格中数学元素的学术研究。但即使是对梅尔维尔这类（在我看来）对数学有着明显偏好的作家，我也只能找到有限的几篇学术文章。数学与文学之间更全面的关系尚未得到应有的关注。因此我试图通过本书让你相信，数学与文学不仅有着密不可分、追本溯源的关系，而且理解这些关系可以让你进一步感受两者的魅力。
数学通常被认为与文学和其他充满想象力的艺术截然不同，但它们之间的界限其实是非常新的思想的产物。从古至今，数学都是文化认知教育中必不可少的部分。两千多年前，柏拉图在《理想国》中提出了理想的艺术课程，中世纪的作家将其分为三个学科（语法、修辞、逻辑）和四个学科（算术、音乐、几何、天文学）。总之，这些都是文科学习的核心内容，因此并不存在人为区分“数学”与“艺术”的现象。
11世纪的波斯学者奥马尔·海亚姆被普遍认为是诗集《鲁拜集》的作者（现代学者认为这本诗集是几位作者的共同作品），海亚姆也是一名数学家，曾经为一些数学问题做出了优美的几何解答，而这些问题的完整代数解直到400年后才出现。14世纪的乔叟既写出了《坎特伯雷故事》，也创作了一篇关于星盘的文章。这样的例子不胜枚举，尤其是刘易斯·卡罗尔，他首先是数学家，其次才是作家。
然而，还有一个更深层次的原因促使我们去寻找隐藏在文学中的数学元素。宇宙中到处都是作为基本原理的结构、模式和规律，而数学是我们理解这些东西的最佳工具——这就是为什么数学经常被称为“宇宙的语言”，也是为什么它对科学如此重要。既然人类是宇宙的一部分，我们的创造性表达方式，包括文学，自然也会表现出对规律和结构的向往。因此，数学是一把从完全不同的角度审视文学的钥匙。作为一名数学家，我可以帮助你看到这一切。
我从小就喜欢规律，无论是文字、数字还是图形中存在的规律，甚至在不知道自己所做的事情就是数学之前，我就喜欢上了规律。慢慢地，我发现我数学家的职业方向越来越清晰，但我为此也付出了一些无法回避的代价。近几十年来，在英国的教育体系中，数学已经被视为一门理工学科，与人文学科有着天壤之别。如果在16岁之后想继续学习数学，你可能必须选择“理科”的方向。1991年，在我在学校的最后一堂英语课结束时，老师交给我一张用优美字体手写的便笺，上面罗列了一长串她觉得我或许会喜欢的书。她说：“让你迷失在实验室里真的令我很难过。”被人以为我迷失了前进的方向，这也让我觉得很抱歉。但我并没有迷失自己——如果你也曾被迫“选择”一个科目而不是另一个，你也不会迷失自己。我热爱语言，我热爱文字组合在一起的方式，和数学一样，我痴迷于小说对虚拟世界边界的创造、操控和试探。之后我去牛津大学学习数学，我儿时心目中的文学偶像C.S.刘易斯和J.R.R.托尔金每周都会讨论彼此作品的那个小酒吧与我的住处只隔着一条街，这让我很兴奋。
在英格兰北部的曼彻斯特取得了硕士和博士学位之后，我于2004年来到伦敦，在伦敦大学伯贝克学院任教，并于2013年成为一名全职教授。在此期间，尽管我所谓的“日常工作”主要是有关抽象数学“群论”的教学和研究，但我对数学的历史产生了更浓厚的兴趣，尤其是想探索数学是如何成为人类更广泛文化体验的一部分的。我一直觉得，作为一名数学家，我所从事的工作完全能与其他富有创意的艺术形式，如文学、音乐等完美地结合在一起。好的数学，就像好的写作一样，涉及对结构、节奏和模式的内在欣赏。当阅读一部伟大的小说或一首完美的十四行诗时，我们会浮现出这样的感觉，即所有的组成部分完美地结合在一起，形成一个和谐的整体，就和我们看到一个美妙的数学证明的感觉一样。数学家G.H.哈代曾经写道：“一个数学家就像一个画家或诗人，是规律的缔造者……数学家的规律就如同画家或诗人的规律，必须是优美的。这些想法与色彩和文字一样，必须以和谐的方式被融合在一起。美是第一道考验，丑陋的数学在这个世界上没有长久的容身之地。”
2020年在担任格雷欣学院的几何学教授后，我有机会把自己几十年来对数学及其在历史和文化中的地位的思考结合起来。这个教授职位是自都铎王朝以来剩下的为数不多的职位之一——它是1597年由伊丽莎白一世的朝臣和金融家托马斯·格雷欣爵士在遗嘱中提出并捐资创建的。我是该职位的第33名任职者，也是第一位女性任职者。我可以就自己感兴趣的任何数学主题举办公开讲座，同样幸运的是，一个多世纪以来形成的传统要求教授必须就同一主题举办两次讲座：一次用英语，一次用拉丁语。
我身兼伯贝克学院的数学教授和格雷欣学院的几何学教授，还养育了两个可爱的女儿，我知道你们在想什么：莎拉，你业余时间都做些什么？我的回答就是我长久以来坚持的习惯——阅读，不间断地、广泛地阅读。电子阅读器的美妙之处就是不需要翻动书页，我甚至可以抱着熟睡的婴儿阅读。就是利用这些时间，我读完了《战争与和平》，并且发现其中充满了数学惊喜。
每一年我都会跟好友雷切尔定下一个目标，在布克奖发布之前把所有候选作品读一遍，也就是在大约6周时间里读完6本书。2013年的候选作品之一（也是最终的获奖作品）是埃莉诺·卡顿的《明》。卡顿在这部小说中运用了若干“结构约束”，包括一个被称为“几何数列”的数学序列。书中隐藏了大量的数学线索，让那些了解其背后数学含义的读者能获取到额外的收获，例如，一批被盗黄金的价值恰好是4 096英镑并非巧合，理解贯穿始终的几何数列会给你带来另一种享受。数学结构出现在文学作品中的现象不胜枚举，这只是我在本书中向你展示的诸多案例之一。
还需要指出，数学与文学之间的关系并不是单向的，数学本身也具有丰富的语言创造力。追溯到早期印度，梵语数学一直遵循着口传心授的传统，数学算法通常被编成诗歌，以便口口相传。我们普遍认为，数学概念与精确固定的单词有关，比如“圆形”“正方形”。但是在梵语传统中，你使用的词语必须符合诗歌的韵律。例如，数字可以替换为相关对象。数字1可以用任何独特的事物来表示，比如月亮或地球，而“手”可以表示2，因为我们都有两只手——但“黑和白”也可以，因为二者形成了一对儿事物。“3个牙洞”这样的表达并不是要去看医生，而是代表在我们牙齿的数量后面加3个0，这是对32 000这个数字颇具诗意的表达方式。不计其数又形态各异的单词和含义为数学提供了引人入胜的丰富性。
数学语言也是形象化的——当需要使用一些新词语描述新鲜的事物时，我们通常会求助于隐喻。一旦这些词语被长期沿用下来，我们往往就忘记了它们所代表的其他层面的含义。但有时受某些情况的诱发，我们终于想起了它原本的含义。在攻读硕士学位期间，我花了一个学期的时间在法国西南部的波尔多大学学习数学。用法语阅读数学给数学增添了一丝超现实的色彩，因为我从未意识到某些文字和隐喻竟然可以出现在数学语境中。那几个月的学习让我看到支撑数学大部分内容的创造性隐喻语言。在学习法语中一门叫“代数几何”的课程时，gerbe这个词让我油然而生一种淳朴的农业感，因为当时我只认识gerbe de blé（小麦穗）这个法语词组。有时你还会过度翻译，有那么一阵子我以为有一个结果叫“海象定理”，因为法语的morse被翻译成“海象”，但实际上它得名于它的发现者，广受尊崇的数学家（非海象）马斯顿·莫尔斯。
就像数学会采纳文学的隐喻一样，文学中的数学元素也无法逃开数学家的慧眼。这些元素让我们有机会从另一个角度欣赏一部小说。例如，梅尔维尔的摆线就是一条具有诸多奇妙特征的曲线，但是它与抛物线和椭圆等曲线有所不同，除非你是个数学家，否则你很有可能从未听说过这个概念。这真是个遗憾，因为这条曲线的性质极其美妙，它甚至被戏称为“几何学的海伦”。制作一条摆线并不复杂，首先想象一个在平坦路面上滚动的车轮，然后在轮子的边缘处标记一个点，比如涂抹上一团颜料。当车轮滚动时，这个点就会在平面上画出一条轨迹，我们称它为“摆线”。这是一个相当朴素的思想，然而，直到16世纪才有证据表明它被研究过，直到17世纪和18世纪，关于它的研究才多起来，当时似乎每个对数学感兴趣的人都要对此发表一番意见。例如，伽利略首先提出了“摆线”这个名称，他还写道，他研究摆线已经有50年了。
摆线不仅在《白鲸》中被提及，还在另外两部18世纪伟大的文学作品《格列佛游记》和《项狄传》中被提及，我们再一次看到数学应用的地位——不是“其他”小角色，而是知识生活必不可少的一部分。当格列佛来到勒皮他岛时，他发现那里的居民对数学极为痴迷。在与国王吃饭的时候，他看到“仆人们把我们的面包切成圆锥形、圆柱形、平行四边形和其他一些几何图形”，还看到“切成等边三角形的一块羊肩肉”和“切成摆线形状的布丁”。同样，在项狄大厅，特里斯舛的叔叔托比在制作一座桥模型时遇到很大的困难，在参阅了各类专业资料之后（甚至引用了一篇现实中的数学论文，发表在科学期刊《博学通报》上），他断然决定摆线型的大桥才是正确的解决之道。然而事情进展得并不顺利：“我叔叔托比和任何一个英国人一样了解抛物线的性质，但他不是摆线专家。尽管他每天都在谈论摆线，但是大桥的制作毫无进展。”
阅读《项狄传》和其他伟大作品的部分乐趣，就在于发现书中所隐含的那些极为丰富、无所不包的典故，有文学、文化的，当然还有数学的。如果你正在阅读经典文学，鉴于莎士比亚对文学和文化领域的深远影响，你多少也要了解一些他的作品。那么是否存在某些数学著作，能与莎士比亚的作品在经典文学领域的地位并驾齐驱呢？一个强有力的竞争者是欧几里得的作品，即《几何学原理》或《几何原本》，它或许是有史以来最具影响力的数学著作。
有一个小故事，讲述了哲学家托马斯·霍布斯是如何对几何学产生浓厚兴趣的。霍布斯的传记作者约翰·奥布里写道：
在一位绅士的图书室里，桌面上被展开的是欧几里得的《几何原本》，那一页恰好是这本书第一卷的第四十七个命题。他读了读这个命题，说：“天哪，这绝对不可能！”于是他开始阅读证明过程，其中涉及另外一项证明，而那项证明中的某个步骤又指引他参考另一项证明，他继而发现……最后，他被彻底说服了。他从此爱上了几何学。
这的确是个有趣的故事，我们据此可以了解人们对数学的看法。请注意，《几何原本》在桌面上被展开，因为霍布斯身处“一位绅士的图书室”，而非“一个数学家的书房”。这样的描述显示，这个见多识广的人涉猎广泛。不仅如此，奥布里还假设读者都对欧几里得了如指掌，提到第一卷第四十七个命题，就好像我们都知道似的。我们当然知道，因为那是毕达哥拉斯定理。
包含在欧氏几何中的那些美妙的确定性——由公理和定义严谨地推导出定理和证明，既激发了文学巨匠的创作灵感，也慰藉了他们的心灵。从乔治·艾略特和詹姆斯·乔伊斯（他们以各自不同的方式热爱着数学，我们将在第6课看到他们），到诗人威廉·华兹华斯和埃德娜·圣·文森特·米莱。华兹华斯在《序曲》中写道，几何学带来了“安谧与幽邃”，并让人们“几乎忘了悲伤”：
困扰着心灵，那些抽象的
概念具有强大的魅力，我特别高兴
那些条理流畅的组合，如此
优美地被合成……
一个独立的
世界，诞生于精纯的心智。
每个人都知道欧氏几何的完美，于是当19世纪的人们以极度兴奋的心情发现了超越欧氏理论的几何学（就是所谓的“非欧氏”几何学，例如平行线有机会相交）时，他们的想象力得到了疯狂的释放。我会给你展示从奥斯卡·王尔德到库尔特·冯内古特等作家是如何利用文学来阐释这些思想的。数学和文学相辅相成地推动我们更加深入地了解人类的生活，理解我们在宇宙中的状态。意识到这一点，我们就能极大地丰富这两个领域。
在本书的第一部分，我们将探索文学的基本结构，包括小说中的情节和诗歌中的韵律。我会向你们展示诗歌的基本数学原理，还会告诉你们一些小说创作背后的故事，比如《明》特意使用了数学的约束理论。法国文学组织乌力波曾受数学启发创作了诸多作品，其成员包括乔治·佩雷克和伊塔洛·卡尔维诺。如果用文学房屋比喻，这些就是地基和房梁，在这里我们能发现隐藏在眼前事物之后的数学思想。
房屋的框架被搭建完成之后就该装修了，墙纸、地毯。很多作家在作品中都使用了数学隐喻，数字的象征性手法由来已久，并不罕见。这些措辞、隐喻和典故的转折将是本书第二部分的重点。
那么谁将会住在我们的房子里呢？我们写作的内容是什么？在第三部分，我将向你解释数学是如何被融入虚构的故事情节的，包括那些以数学为主题的小说，以及把数学家当作书中主角的作品。我们将会看到数学思想是如何激发读者的想象力的，从分形学到四维空间，以及虚构作品是如何探讨这些话题的。我们还会看到文学作品中刻板的数学家形象以及数学思维是以怎样的方式被呈现的。
如果你对数学尚无好感，那么我希望本书能让你看到数学的美丽和奇妙之处，为什么说它是我们创造性生活的一个自然组成部分，以及为什么它在艺术的神殿中该享有与文学同等的地位。我希望它能给你一个不同的视角来审视写作和那些你早已熟知的作家，向你介绍你不认识的作家和作品，并给你一种崭新的方式去体验文学世界。如果你恰好是一名数学家，那么你的灵魂已经饱含诗意。但我们将看到，这些诗意是如何在你可能从未意识到的地方被表现出来的，这也是文学与数学之间持久对话的一部分。可别怪我没提醒你：你将需要一个更大的书柜。