第四节　正弦交流电路

一、交流电

大小和方向都随时间不断变化的电动势、电压和电流分别称作交流电动势、交流电压和交流电流，统称交流电。交流电随时间的变化，有的是有规律的，如常用的交流电是随时间按正弦规律变化的，因此称作正弦交流电。以后我们提到的交流电都是指正弦交流电。它随时间变化的规律由正弦曲线形象地描述，见图1-25。正弦交流电在生产和生活中具有极大的实用价值。

与直流电相比，它具有两个重要的优点：一方面，交流电可以用变压器改变电压，不仅便于输送，而且损失较小；另一方面，交流电机远比直流电机构造简单、造价便宜，而且运行也较为可靠。

二、正弦交流电的基本特征

正弦交流电有三个基本特征：大小、变化速度和变化起点。其中正弦交流电的大小用它的值来代表；代表变化速度的是正弦交流电的频率；代表变化起点的称为初相。下面分别予以介绍。

1.正弦交流电的值

（1）瞬时值：正弦交流电在某一瞬间的值。电动势、电压、电流在某一时刻的瞬时值分别用小写字母e、u、i表示。

（2）最大值：正弦交流电中最大的瞬时值，又称峰值、振幅。电动势、电压和电流的最大值分别用Em、Um、Im表示。

（3）有效值：交流电流的有效值根据交流电流在电路中的热效应来决定。即当交流电和直流电分别通过阻值相同的电阻时，如果两种电流在相同时间内发出的热量相等，则把此时的直流电流称为交流电流的有效值，也称平均值。

正弦交流电的电压、电流和电动势的有效值均为其最大值的，分别用I、V、E表示，其关系式为：

通常所说照明电路的电源电压为220V、电动机的电源电压为380V以及用电表测量出来的电流、电压数值都是指有效值，一切交流电器、电机等产品铭牌上的额定电压、电流等也是指有效值。

已知有效值求最大值时，只要将有效值乘以即可求出。如有效值220V交流电的最大值为。

2.正弦交流电的周期与频率

（1）周期：正弦交流电循环变化一周所需的时间，用字母T表示，单位是秒（s），常用的还有毫秒（ms）、微秒（μs）及纳秒（ns）。

（2）频率：正弦交流电在1s内循环变化的周数，用字母f表示，单位是赫兹（Hz），常用的还有千赫（kHz）、兆赫（MHz）。频率和周期互为倒数，即。

（3）角频率：正弦交流电在1s内变化的电角度叫角频率，用字母ω表示，单位是弧度/秒，用字母rad/s表示。角频率与频率之间的关系为：ω=2πf。

3.相位与初相

实际上，发电机开始旋转时，线圈的起始位置不一定在中性面上，设线圈的初始位置在α=φ位置，如图1-26所示，则在每一瞬间t时线圈中产生的感应电动势为：e=Emsin（ωt+φ）。

式中的ωt+φ称为相位，它反映了正弦交流电每一瞬间的电角度。φ称为初相，反映了发电机开始转动时线圈所处的位置。

三、正弦交流电的产生

正弦交流电通常是由交流发电机产生的，图1-27是一个最简单的交流发电机的模型，它是由一对静止的磁极（定子）和一个可绕轴旋转的线圈（转子）组成。线圈的两端分别接到两个滑环上，滑环上装有电刷，通过电刷与外电路的负载相连接，构成一个闭合回路。

为了使交流发电机的线圈能产生出正弦交流电，就需要把N极和S极做成特殊形状，使其在转子圆柱面上的磁通密度按正弦规律分布，如图1-28所示。这时，磁感应强度在YY'处最大，在OO'处最小（为0）。这样，在转子旋转时，感应电动势可表达为：

式中　e——线圈在所处位置的感应电动势的瞬时值（V）；

Em——感应电动势的最大值（V）；

α——线圈所处平面与中性面的夹角。

同时，发电机输出的电压、电流也按正弦规律变化，其瞬时值为：

图1-29所示为有两对磁极（四极）的交流发电机及其电动势变化曲线。在四极发电机中，线圈每转一圈，感应电动势就要交变两周，即α电=2α机，在p对磁极发电机中，则有：α电=pα机。

这里的α电称为电角度。它与发电机转过的机械角度是不同的，且存在上式的关系。α电是计算发电机输出电流电压的角度。假设线圈以等角速度ω旋转，且线圈启动时的初始条件为t=0、α电=0。当线圈旋转t（s）后，其电角度α电=ωt，此时感应电动势、电压和电流的瞬时值分别为：

四、正弦交流电的表示

正弦交流电的表示法主要显示正弦交流电的瞬时值与时间的对应关系。

1.解析法

解析法是用数学公式表达时间与正弦交流电关系的方法。其电动势、电压和电流的解析式为：

在上式中代入相应的某一时间t的值，便可以得到此时正弦交流电的瞬时值。

2.正弦曲线图示法

正弦曲线图示法是利用平面直角坐标系绘出图形来表达正弦交流电的方法。横坐标表示时间t，纵坐标表示正弦量的瞬时值，根据解析式计算，便可绘出正弦曲线图形。例如绘出电动势的图形，如图1-30所示。图中感应电动势的最大值为310V，初相φ=90°，周期T=0.02s。

3.旋转矢量法

在平面直角坐标系中画出一个矢量，令其按逆时针方向旋转（取该矢量的长度为正弦交流电的最大值，旋转的角速度等于该正弦交流电的角频率ω），开始时（t=0）它与OX轴的夹角即为初相位φ0，那么任一时刻t旋转矢量在纵坐标轴上的投影，即为该时刻正弦交流电的瞬时值。

五、纯电阻电路

纯电阻电路，就是电路中只有导线和电阻的电路。

如图1-31所示，在纯电阻电路中，根据欧姆定律，当电阻一定时，其瞬时电流的大小与瞬时电压的大小成正比。用图示法将各个时刻的瞬时电压、瞬时电流和瞬时功率值在图上画出来，如图1-32（a）所示。画出电压与电流的矢量如图1-32（b）。

可以看出，纯电阻电路具有如下特点：

（1）交流电压、电流和电阻之间的关系符合欧姆定律，负载两端的电压u和流过负载的电流i是同相位的（即同时达到最大或最小值）。

（2）瞬时功率等于瞬时电压乘以瞬时电流（p=u·i）。由于u和i同相位，所以p为正值或0，说明负载总是消耗电能（p=0除外）。

（3）电路中的平均功率（有功功率）计算公式为：

式中　U——负载电阻两端电压的有效值（V）；

I——流过电阻的电流有效值（A）。

六、纯电感电路

在一个交流电路中，只有电感性质（如单个线圈的自感量或变压器的互感量）的负载，并且可忽略其电阻和分布电容，那么这个电路就是一个纯电感电路。如图1-33所示，当把一线圈接在交流电路中时，由于交流电的电流、电压随时在变化，线圈就会产生自感电动势，阻碍交流电通过。

由法拉第定律可知，在纯电感电路中，自感电动势的瞬时值与电流的变化成正比，其方向为阻止线圈中原有电流磁场变化的趋向。

经分析可知，在纯电感电路中，通过电路的电流比外加电压滞后。其自感电动势比外加电压滞后π。变化曲线图形和矢量图，如图1-34所示。

1.电感线圈的感抗

电感线圈对交流电流的阻碍作用叫感抗，又称电感抗、电抗。用字母XL表示，单位是欧姆（Ω）。其表达式为：

式中　XL——线圈的感抗值（Ω）；

f——电流的频率（Hz）；

L——线圈的电感值（H），由线圈的特性决定。

从式中看出，电流频率越高，线圈电感值越高，则感抗越大。

在纯电感电路中，计算电流的有效值时，仍可应用欧姆定律，即：

式中　IL——通过线圈的电流有效值（A）；

UL——加于线圈两端的电压有效值（V）；

XL——线圈的感抗值（Ω）。

2.纯电感电路中的功率

（1）瞬时功率与有功功率。纯电感电路的瞬时功率等于电压和电流瞬时值的乘积，即：

瞬时功率也按正弦规律变化，曲线如图1-35所示。

分析图1-35可知，瞬时功率在第一个和第三个1/4周期内为正值，表示电感线圈从电源中获取能量，转换为磁场能；在第二个和第四个1/4周期内为负值，表示电感将储藏的磁场能转换为电能，送回电源。由于在一个周期内的正方向和负方向曲线所包围的面积相等，所以瞬时功率在一个周期内的平均值等于零。

这样，在每半个周期内，纯电感电路中的平均功率等于零。就是说在纯电感电路中，没有能量消耗，只有电能和磁能的周期性转换。因此电感元件就是一种储能元件了。

（2）无功功率。需要注意的是，虽然在纯电感电路中平均功率是零，但事实上电路中时刻都进行着能量的交换，所以瞬时功率并不为零。纯电感电路中瞬时功率的最大值叫做无功功率，用字母QL表示。其大小为：

式中　QL——电路中的无功功率（W）；

UL——线圈两端的电压（V）；

IL——流过线圈的电流（A）；

XL——线圈的感抗（Ω）。

无功功率表示电路中能量交换的最大速率，不能表示电路中功率的消耗情况，只有平均功率才表示电路中功率的消耗情况，所以平均功率也叫做有功功率。

七、纯电容电路

当把一电容器接在直流电路中时，电路被切断。而电容器接在交流电路中，如图1-36所示，当电压升高时，极板上的电荷增多，电容器被充电；当电压下降时，极板上的电荷减少，电容器放电。当交流电压反复变化时，极板上的电荷也就时增时减，因而电路中便有电流流过。

经过分析可知，在纯电容电路中，电压按正弦规律变化时，电流也按正弦规律变化，电流比电压超前90°，绘出曲线图和矢量图如图1-37所示。其解析式为：

1.电容器的容抗

电容对电流的阻碍作用叫容抗，用字母XC表示，单位为欧姆。其表达式为：

式中　XC——电容器的容抗值（Ω）；

C——电容器的电容量（F）；

f——电压的频率（Hz）。

电压的频率越高，电容量越大，则容抗越小。

在纯电容电路中，计算电流的有效值，仍可应用欧姆定律：

式中　IC——电路中电流的有效值（A）；

UC——加于电容极板间电压的有效值（V）；

XC——电容器的容抗（Ω）。

2.纯电容电路中的功率

纯电容电路中的瞬时功率等于电压和电流瞬时值的乘积。即：

瞬时功率也按正弦规律变化，曲线如图1-37所示。

纯电容电路中，在第一个和第三个1/4周期内，功率为正值，表示电容器被充电，要从电源中吸取能量储存于电场内。在第二个和第四个1/4周期内为负值，表示电容器放电，把储存在电场中的电能送回电源。瞬时功率在一个周期内的平均值仍等于零，即纯电容电路中，也只进行能量交换，而没有能量消耗，其有功功率为零。

3.无功功率

纯电容电路中瞬时功率的最大值叫做无功功率，用字母Q表示。即：

式中　QC——电容器的无功功率（W）；

UC——电容器极板间电压的有效值（V）；

IC——电路中电流的有效值（A）；

XC——电容器的容抗（Ω）。

【例1-12】　将L=0.1H的电感线圈接在220V、f=50Hz的交流电源上，求：（1）感抗XL和电流I的大小。（2）该电路的无功功率。

解：感抗可按XL=2πfL计算，因此

已知电压的有效值U=220V，因此电流的有效值I为：

无功功率QL=IU，因此

【例1-13】　已知一交流电源频率为50Hz，负载电容器的电容为C=2μF，电源电压有效值为110V，求：（1）通过电容器的电流；（2）该电路的有功功率和无功功率。

解：该电路为纯电容电路，其容抗为：

通过电容器的电流为：

有功功率QC=IU，因此

QC=110×0.069=7.59（Var）

八、功率因数

在交流电路中，交流电源的容量是用视在功率S=IU来表示的。而电路中的负载可能由R、L或C组成，其中L和C可能造成电路中电压和电流的相位不同，从而增加无功功率，使视在功率上升。电路中其可利用的功率即有功功率仅为视在功率的一部分。反映这种利用程度的物理量即为功率因数，即：

常用电气设备中，一些电阻性负载如白炽灯、电阻、电热器等功率因数接近于1，其他如三相异步电动机、三相变压器、电焊机、电抗器、架空线及电气仪表的功率因数均小于1。

交流异步电动机，在空载时的功率因数只有0.2～0.3，在轻载时约0.5，在额定负载时约为0.7～0.9。不带电容器的日光灯其功率因数为0.45～0.6。

为提高功率因数，需合理配用异步电动机，消除电动机的轻载运行现象（即俗称“大马拉小车”）；合理调度变压器的经济运行，消除变压器空载等。