02　彭罗斯难题

在我那次见到费曼的4年前，没有人听说过准晶，包括我在内。

我刚加入宾夕法尼亚大学物理学系时，被邀请去物理学讨论会上发表演讲，这是全系师生都会参加的讲座，每周举办一次。宾夕法尼亚大学根据我在哈佛大学基本粒子物理学方面的研究成果，招聘我为教员，而我在哈佛大学的研究成果与理解物质的基本成分及其相互作用力有关。老师们对我最近的研究也很感兴趣。当时我和自己的第一个研究生安迪·阿尔布雷克特（Andy Albrecht）正致力于宇宙如何形成的理论研究，这些新理论将有助于为我们现在所知的宇宙膨胀理论(5)奠定基础。

不过在讲座上，我决定不谈这项研究。相反，我选择了一个几乎没有人知道我一直在做的项目，它的重要性尚不清楚。令我没有想到的是，这个讲座引起了一名年轻研究生的共鸣，更没有想到它很快促成了一段富有成效的合作关系和一种新物质形式的发现。

我的演讲主要谈论了一个项目，我们研究这个项目有一年半了，成员有哈佛大学理论物理学家戴维·尼尔森（David Nelson）和就职于纽约州约克镇高地的IBM托马斯·沃森研究中心（Thomas J. Watson Research Center）的博士后马尔科·龙凯蒂（Marco Ronchetti）。

这个项目的主题是研究当液体快速冷却和凝固时，液体中的原子将如何重新排列。科学家都知道，当液体非常缓慢地凝固时，其原子往往会从液体的随机排列重新配置为晶体的有序、周期性排列，就像水冻结成冰一样。

在最纯粹的情况下，即所有的原子都是相同的，并在原子之间简单的作用力下相互作用，原子的排列方式是堆叠在一起，就像水果摊上陈列的橙子一样。这种结构被称为面心立方晶格（face-centered cubic），与立方体具有相同的对称性，而且也符合所有已知的晶体学规则。

我们三个人想要研究的是，如果液体冷却得非常快，甚至在原子有机会重新排列成完美的晶体之前就凝固了，会发生什么。当时普遍的科学假设是，原子排列将如同液态的快照。换句话说，原子排列将是完全随机的，没有可辨别的顺序。

尼尔森和他的学生约翰·托纳（John Toner）推测可能会有更微妙的事情发生。快速凝固会导致随机性和有序性的混合。他们推测，原子将被随机放置在空间中，但这些原子之间的键结可能会沿着立方体的边缘排列。那么原子的排列规则将介于有序和无序之间。他们称这种特殊的排列规则为“立方相”（cubatic phase）。

为了理解这个假设的意义，我们必须先了解一些基本知识。物质的物理属性及其应用方式关键取决于它们的原子和分子的结构。以石墨和金刚石这两种晶体为例。基于它们的物理属性，我们很难想象这两者之间有什么共同之处。石墨柔软、光滑、不透明，具有黑色金属般的外观。金刚石超硬、透明且有光泽。然而，两者都是由类型完全相同的原子构成的，都是由100%的碳原子构成的。这两种物质的唯一区别在于碳原子的排列方式（见图2-1）。

在金刚石中，每个碳原子都与另外4个碳原子结合成一个相互连接的三维网络。而在石墨中，每个碳原子在二维薄片中只与另外3个碳原子相连，碳片一张接一张地堆叠在一起，就像一叠纸一样。

金刚石中由碳原子连接形成的网络很坚固，很难被破坏。而碳片很容易像纸张一样相互滑开，这就是金刚石比石墨坚固得多的基本原因。这种差异直接影响了它们的实际应用。金刚石是已知最坚硬的材料之一，可以用于制造钻头。石墨非常软，可以用来做铅笔，铅笔在纸上移动时，碳片会随之剥落。

这个例子说明，知道一种材料中原子排列的对称性，就有可能理解并预测出其属性，并找到最有效的用途。这同样适用于快速冷却的固体，科学家称之为玻璃态或非晶态。它们是除了缓慢冷却的晶体以外另一种有价值的物质，因为它们具有不同的电子、导热性、弹性和振动特性。例如，缓慢冷却的晶体硅被广泛应用于整个电子工业，而非晶硅不比缓慢冷却的硅材质坚硬，这使得它们在某些类型的太阳能电池中具有应用优势。

尼尔森、龙凯蒂和我想研究的问题是，一些快速冷却的固体的原子排列是否具有一种微妙的有序性，这种有序性以前从未被发现过，它们可能具有额外的优点和用途。

几年来，我一直致力于开发模拟液体快速冷却的方法。在本科阶段和博士后阶段的暑假，我受邀在耶鲁大学和IBM托马斯·沃森研究中心从事理论计算机模型的研究。虽然当时我的主要科学兴趣在别处，但我充分把握住了暑期的研究机会，因为非晶态这样的基本物质的原子排列在当时还不为人所知，所以我对此很感兴趣。在这一问题上，我有意遵循了从导师理查德·费曼那里得到的启示：明智的做法是跟随你的内心，寻找好的研究问题，无论它们可能会将你引向哪里，即使不是你认为应该去的方向。

1973年，在加州理工学院升入大四的那个夏天，我开发了第一个由计算机运算生成的玻璃与非晶硅的连续无规网络（continuous random network, CRN）。该模型被广泛用于预测这些材料的结构和电子性质。随后的几年里，在与龙凯蒂一起工作时，我开发了更复杂的程序来模拟液体的快速冷却和凝固过程。

1980年，在哈佛大学与尼尔森的一次偶然谈话给了我研究非晶态物质的新目标。我的计算模型可以用来检验尼尔森和托纳对立方状物质的预测。

在向宾夕法尼亚大学的听众解释了所有的背景历史之后，我的演讲进入了高潮部分：如果关于立方相的猜想是正确的，那么我这套新计算模型所呈现的原子键就不应该是随机定向的。平均而言，键应该倾向于“立方定向”（cubic orientation），也就是优先沿着立方体的边缘排列。

我们为实验开发了一系列复杂的数学测试，以检查键的平均定向是否显示出预期的立方体对称性，我们也根据立方排列的强度设定了数值计分。

结果这项实验彻底失败了。我们没有发现尼尔森和托纳所预测的立方体边缘的键优先排列的任何迹象。

不过令人感到意外的是，我们发现了更有趣的东西。在设计定量的数学测试来检查具有立方体对称性的原子键的定向时，我们发现很容易通过调整测试来检查其他可能的旋转对称性。因此，基于原子键沿着不同方向的排列程度，我们基于测试来给每一种对称性打分。

令我们感到非常惊讶的是，一种被禁阻的对称性的得分比其他对称性的得分高得多，即不可能的二十面体对称性（见图2-2a）。

我知道当时有些听众可能很熟悉二十面体，因为这个三维形状在流行游戏《龙与地下城》（Dungeons and Dragons）中被用作骰子（见图2-2b）。有些人可能会从生物学的角度认出它，某些人类病毒的形状就与此相同。喜欢几何学的人会认为它是5种柏拉图多面体中的一种。这种三维结构中每个面的大小都是相同的，每个边的长度以及每个角的角度也都是相同的。

三维二十面体的显著特征是，从任何一个角直接向下看，都可以观察到具有五重对称性的五边形。这种五重对称性对于二维平面填充或三维晶体来说都是被禁阻的。

当然，单独一块正五边形地砖没有任何问题，你可以先选择任何形状的地砖，但是如果你想用正五边形铺设地板而不留下任何缝隙，那是不可能的。这同样适用于二十面体。你可以制造单个二十面体的三维模具，但不能用二十面体填充空间而不留下缝隙（见图2-3）。

研究物质结构的科学家都熟知，二十面体的角很多，而且每个角都具有禁阻的五重对称性，这是原子排列中最显著的禁阻对称。这是一种基本常识，教科书的开篇一般都会提到。然而，不知何故，在我们的计算机实验中，二十面体对称性在原子键排列方面获得了最高分。

严格来说，我们的测试结果并没有直接违反晶体学定律。这些定律只适用于包含数万个或更多原子的宏观物质块，而对于更小的原子团，正如我们在模拟中所研究的，没有绝对的限制。

在这种极端情况下，比如一个只有13个相同原子的小原子团，其原子间的作用力会自然而然地将原子牵动成二十面体的排列，即一个原子位于二十面体的中心，周围的12个原子位于二十面体的角上。这是因为原子间的作用力像弹簧一样，倾向于将原子拉在一起，紧密地对称排列。13个原子之所以形成二十面体，是因为这是原子间作用力所能实现的最紧密的对称结构。然而，随着越来越多的原子加入，二十面体对称将不再那么紧密。如图2-3中的《龙与地下城》骰子所示，二十面体不能面对面、边对边或以任何不在它们之间留下大间隙的方式整齐地拼合在一起。

我们的计算有一个令人惊讶的发现，在模拟情景中，原子键定向呈现出的二十面体对称性几乎一直扩展到数千个原子。如果你问当时的大多数专家，他们会猜测二十面体对称性不可能扩展到超过50个原子。然而我们的模拟显示，即使以大量原子进行平均，这些原子键定向之间仍然高度保持着二十面体对称性。然而，晶体学定律规定二十面体的对称性不能无限延伸。果然，当我们继续对更多原子进行平均时，对称性分数开始下降，最终达到不再具有统计学意义的水平。即便如此，发现数千个原子高度沿着二十面体的边缘键结，仍然是一件了不起的事情。

我在演讲中提醒听众，这次模拟中自发呈现的二十面体有序性只来自一种原子。而大多数材料包含了尺寸和键结力各异的不同元素。我提出了一种假设，随着不同元素数量的增加，违反已知的晶体学定律可能会变得更容易，因此二十面体的对称性可以延伸到越来越多的原子上。

我认为，也许存在对称性无限延伸的情况。这无异于一场革命，因为这种情况直接违反了一个多世纪前阿维和布拉维提出的定律。这是我第一次在公共场合提出这个不可能的猜测，并以此充满挑衅意味地结束演讲。

台下响起了热烈的掌声。几个教员问了我一些细节性的问题。后来我也收到了很多夸赞，但就是没有人评论我关于违反晶体学定律的猜测，也许在他们看来，这只不过是一种浮华的学术花絮。

不过，观众中有一个人将这个想法放进了心里，并准备以后投身于这项研究。在我演讲后的第二天，一位名叫多夫·莱文的24岁物理学研究生来到我的办公室，问我是否愿意做他的博士生导师。莱文对我提出的这个疯狂的猜想特别感兴趣，想和我一起来研究。

我最初的回应并不是很热烈。“这个想法太疯狂了。”我告诉他。我绝不会向研究生推荐这种课题。我甚至不确定会不会把它推荐给像我这样没拿到终身教职的教授。对于从哪个方面开始研究，我只有一个模糊的概念，而且成功的机会微乎其微。虽然我滔滔不绝地说了一堆令人沮丧的话，但这并没有吓退他。莱文强调说，无论可能性有多渺茫，他都想试一试。

我请莱文告诉我更多关于他自己的情况，他说他在纽约出生和长大。这一点最明显不过了，因为他说话的节奏很快，极度自信，喜欢讽刺且充满幽默感。莱文大概三句话中就有一个笑话或其他不正经的词，而且其脸上总是挂着戏谑的笑容。

我没有向他透露过多，因为我想知道他为什么认为我们应该追求这个疯狂的想法。他是一个意志坚定的人，不容易被说服。我想，这就是一个人在面对高风险问题时应该有的态度。良好的幽默感也会派上用场，因为我们可能会遇到很多困难。

还有一件事让我对莱文充满好感。我有一个梦想，它可以追溯到我13岁的时候，当时我读了库尔特·冯内古特（Kurt Vonnegut）的小说《猫的摇篮》（Cat’s Cradle），这本小说描写的是科学可能遭到滥用的情景。这本奇怪的小说启迪了一位初出茅庐的科学家。在书中，冯内古特想象了一种新形式的冷冻水，叫作“冰九”(6)。当冰九的种晶（seed crystal）与普通水接触时，会让所有的H₂O分子重新排列变成固体。如果把一粒种晶扔进海洋，就可能会引发连锁反应，使地球上所有的水都凝固。

虽然冰九是一种虚构的物质，但这部小说让我意识到一个以前从未考虑过的科学事实，那就是物质的属性可以通过简单地重新排列原子而发生根本性的改变。

我想，也许，仅仅是也许，还存在其他形式的物质，它们的原子排列还没有被科学家发现，也有可能它们在这颗星球上根本就没有出现过。

虽然莱文不知晓我的这些想法，但他让我拥有了一个机会，去追寻自己长久以来的科学梦想。我同意收他为学生，但如果6个月后我们没有取得任何进展，他可能不得不寻找新的导师和课题。

首先我们想确定的是在二十面体对称的紧密排列中所能放置的最大原子数。为了使我们正在做的事情具象一些，我和莱文（见图2-4）需要构建某种实体模型。但是在这一步，我们就遇到了障碍。化学家在构建这样的模型时，可以使用市场上买到的包含塑料球和塑料棒的工具包，这些工具确实很好用，但问题是所研究的东西仍然呈现普通的晶状排列。

我和莱文想做一些不同的事情。我们需要一些特殊的工具，这些工具能够产生适合二十面体对称性的键角和键距。因为晶体中不可能存在这种对称性，所以常用的化学工具包里没有这样的东西。每个人，包括模型制作者，都知道五重对称性是被禁阻的。所以我们不得不随机应变，最后求助于泡沫塑料球和管道清洁通条。不久之后，我的办公室看起来像混乱失控的工艺品被盗现场。

首先，我们将13个泡沫塑料球组装成二十面体的形状，就像我在宾夕法尼亚大学的讲座中描述的那样，一个球在二十面体的中间，另外12个球在二十面体的各个顶角（见图2-5）。

然后，我们尝试用另外12个相同的二十面体包围第一个二十面体，构建一个更大、更复杂的结构——一个由“二十面体组成的二十面体”。然而，这产生了一个很直接的问题。二十面体不能很好地组合在一起，它们之间留有很大的空隙。因此，我们试图通过添加更多的泡沫塑料球和更多的管道清洁通条来填充二十面体之间的所有空隙，以巩固这一结构。这种方法非常有效，足以让我们建立一个大团簇，一个包含超过200个原子的二十面体。

接着，我们试图扩大战果，这一次我们用13个相同的大团簇来构建一个更大的团簇。然而结果是，这些大团簇之间的空隙变得更大了，这个模型因此不断瓦解。

这个简单的工艺品项目似乎说明，在创造具有二十面体对称性的原子结构时，存在一个基本限制。因为二十面体不能贴合地组合在一起，所以随着更多原子的加入，需要填充的空隙就会变得越来越大。根据这一经验，我们推断，不可能将二十面体对称性扩展到几百个或几千个原子以外。

我和莱文错误地认为，从一个团簇到多个团簇的分层构建策略是保持二十面体对称性的唯一方法。直到今天，我的办公室里还放着一个管道清洁通条模型，以此提醒我，我们差一点儿就得出错误的结论。

正当我们考虑发表一篇论文来解释关于二十面体对称不可能的结论时，莱文恰好给我看了《科学美国人》（Scientific American）杂志上的一篇文章，里面讲到一个4岁的小孩都懂得彭罗斯平面填充，这才将我们从歧途中拉回来。彭罗斯？我当然知道这个名字，不过他跟任何物质形式或几何平面填充毫不相关。

牛津大学物理学家罗杰·彭罗斯（Roger Penrose）因为对广义相对论的研究，以及将其应用于理解宇宙的演化而做出的诸多贡献闻名于世，他现已被封为爵士。20世纪60年代，彭罗斯证明了一系列有影响力的“奇点”理论，这些理论表明，在各种条件下，当前正在膨胀的宇宙一定诞生于“大爆炸”。60多年后的今天，包括我在内的一些宇宙学家正在想方设法地避开这些初始条件，以免得出“大爆炸”的结论，并用“大反弹”（big bounce）取而代之。

幸运的是，莱文之所以知道彭罗斯平面填充，是因为他最初打算来宾夕法尼亚大学研究广义相对论。1980年12月，也就是他来听我演讲的前一年，他曾在一次国际会议上听到彭罗斯谈论自己构建的一种平面填充图案。

莱文当时参加了在巴尔的摩市举办的“第十届得克萨斯州相对论天体物理学研讨会”。对于一场大会来说，这个名字显得很奇怪，因为巴尔的摩市离得克萨斯州有1 600多千米远。之所以取这个名字，是为了遵循一个不成文的惯例。得克萨斯州是第一次相对论天体物理学研讨会的所在地，因此以后的每次会议都会保留原来的名称，即使会议在瑞士日内瓦举行。

在研讨会的中场休息时段，莱文在大厅里散步，碰巧听到彭罗斯在和一群学生谈论他自己的一些新研究成果。想到这或许与广义相对论有关，所以莱文悄悄地走近，旁听了谈话内容。

令莱文感到惊讶的是，彭罗斯讨论的不是广义相对论，而是他几年前为了自娱自乐构建的一种新奇的平面填充图案。这个图案基本上是他在涂鸦过程中构建的。彭罗斯在笔记本上随手画了几个图形和组合图形的草图，直到他画出了一种可以解决著名数学难题的平面填充。彭罗斯不但是一位有着无限好奇心的创作天才，还是一位非常有才华的艺术家，他能徒手画出精确的图形。在整个职业生涯中，彭罗斯在研讨会上经常通过复杂的手绘插图来阐明非常专业的观点。

将构建新型的平面填充作为一种娱乐方式似乎很奇怪。不过，对于彭罗斯来说，这是一种“娱乐数学”式的练习，一种以探索某些知名数学难题和挑战为乐的消遣。热衷此道者不仅有纯粹的业余爱好者，也有著名的数学家，从年轻人到老年人都有。

当时娱乐数学的代表人物是马丁·加德纳（Martin Gardener），他连续25年在《科学美国人》杂志上每月撰写一篇题为“数学游戏”的专栏文章。

莱文带给我的文章是加德纳于1977年发表在《科学美国人》上关于彭罗斯平面填充的文章，发表日期大约在彭罗斯构建出平面填充3年之后。这篇文章介绍了彭罗斯是如何找到一个巧妙的方案来解决一道难题的，关于这道难题，娱乐数学家已经讨论了很多年：那就是有没有可能找到一组地砖，可以不留缝隙地铺满地板，而且只能以非周期性的方式来铺？

例如，如果三角形以螺旋形排列，它们就可以呈非周期性地覆盖地板（见图2-6a）。但三角形也可以形成周期性的图案（见图2-6b），所以三角形不是解决这个难题的有效方法。

数学家曾经认为不可能找到任何能够解决这道难题的形状或形状组合。但在1964年，数学家罗伯特·伯杰（Robert Berger）构建了一个由20 426种不同形状填充的图案。多年以后，有人设法找到了使用更少形状填充的图案。1974年，彭罗斯取得了重大突破，他只用两种填充形状就解决了这道难题，他称之为“风筝”和“箭头”（见图2-7）。每个填充形状都标有圆弧——被称为“丝带”。彭罗斯提出了一条规则，即只有当接缝边缘两侧的丝带匹配时，两个图形才能边对边地连接在一起。遵循这一“匹配规则”可以防止图形出现任何规律性的重复模式。图2-7显示了由许多风筝和箭头按照彭罗斯的匹配规则拼在一起形成的复杂带状图案。

加德纳的文章描述了彭罗斯提出的平面填充具有的许多令人惊讶的特征，也提到彭罗斯的朋友、剑桥大学数学家约翰·康韦（John Conway）随后发现的其他特征。

康韦在数论、群论、纽结论、博弈论和其他基础数学领域做出了无数贡献。例如，康韦发明了“生命游戏”（Game of Life），这是一个著名的抽象数学模型，被称为“细胞自动机”（cellular machine），它能模拟自我复制机器和生物进化的各个方面。

当彭罗斯向康韦介绍新发现的平面填充时，康韦欣喜若狂。随后康韦立即剪下纸片和纸板，把它们拼在一起，并在他公寓的所有桌子和表面上贴满剪下的形状，以便研究它们的特征。加德纳在《科学美国人》上发表的文章也阐述了康韦提出的许多有价值的见解，这些见解帮助我和莱文领悟了彭罗斯平面填充的某些初看之下并不明显的特征。

这篇文章使我们了解到，在填充平面时，图形的精确形状并不重要，只要它们能够以类似于风筝和箭头的方式组合在一起即可。基于这个结论，我和莱文构建出了一个更简单的版本，这种平面填充由一对宽菱形和窄菱形构建而成，图2-8a就是由四边形构建的平面填充。

我们可以将宽菱形排列成周期性的图案，或者将窄菱形排列成周期性的图案，抑或将两种形状的许多不同组合排列成其他各种周期性的图案。

不过，菱形并不是故事的全部。为了排除所有周期性的可能性，形成一种非周期性的排列，有必要引入某种匹配规则。其中一种方法是，使用类似彭罗斯为风筝和箭头设计的丝带，并规定只有当丝带沿着它们相遇的边缘匹配时，两块图形才能连接在一起。

另一种防止出现一般周期性图案的方法是，将它们的直边转换成类似于拼图互锁的曲线和凹口，如图2-8b中的示例，该示例由单独的木块构成。就单元的排列而言，这幅用木块构造的平面填充相当于图2-8a中灰色和白色菱形构成的平面填充。唯一的区别是木块上增加了互锁装置。有了互锁装置，这些木块就能像拼图一样组合在一起，这也意味着它们无法以任何有规律的重复模式组合在一起。

如果这是你第一次看到彭罗斯平面填充，请花点儿时间研究一下。你对它的第一印象怎么样？你会如何描述它？你看到的是有序的还是无序的模式？如果你认为图形按照一种有序的规则排列，那么下一个图形应该排列在何处？

看着灰色宽菱形和白色窄菱形组成的平面填充，我和莱文注意到某些重复的图案，比如围绕中心点的5个灰色菱形构成的灰色星形集群，这种组合模式并非随处可见。我们也注意到，这些集群并没有像我们对周期性图案预测的那样，以等间距的模式重复出现。重复序列之间的间隔也不像随机模式那样是随意的。

通过比较星形集群周围的图案结构，我们观察到并非所有的星形周围都有相同的图案结构。当我们将注意力移到更外一层的图案组合时，我们发现了更多差异。研究一下图2-8，你就会注意到那些不同之处。事实上，如果你从星形中心往外观察得足够远，就会发现没有哪两个星形周围的图案是完全相同的。

这一发现至关重要，因为这与我和莱文在周期性模式中的发现正好相反。在一幅正方形平面填充中，无论你的视角离平面填充的中心有多远，正方形平面填充中的每个图形都与其他图形有着完全相同的周围环境。

根据这个简单的观察，我们证实了彭罗斯模式不可能是周期性的。然而，由几乎相同且在平面填充中频繁重复的集群组成的图案也不能被认为是随机的。这就引出了一个问题：什么样的模式既是非周期性的也是非随机性的呢？

这个问题虽然没有现成的答案，但确实引起了我的兴趣。在彭罗斯于1974年发明彭罗斯平面填充之前，没有人见过类似的图案。甚至彭罗斯本人也没能完全领悟自己的发明。在他的原始论文中，彭罗斯将这种平面填充描述为“非周期性的”，这精确地定义了彭罗斯平面填充不是什么。它不是周期性的。但是，这并没有说明彭罗斯平面填充实际上是什么。这是我和莱文想知道的关键问题。

在开始研究彭罗斯平面填充时，我们想象可以用一对建构模块来建造一个类似的三维造型，然后通过用某种类型的原子或原子团簇替换每个建构模块来构建一种原子结构，以实现我们发现一种新型物质的梦想。

不过，为了证明这种新的原子结构确实是前所未有的，并弄清楚它与众不同的物理性质，我们首先需要确定它的对称性。仅仅将此物质描述为非周期性或非随机性是不够的。因此，在接下来的几个月里，我们专注于彭罗斯平面填充，看能否发现关于其对称性方面的数学秘密。

我和莱文发现彭罗斯平面填充的第一个显著特征是，它们有一种微妙的五重旋转对称性，当然，这被认为是不可能的。

若想看到彭罗斯平面填充中的五重旋转对称性，我们还需要一些努力。图2-9放大显示了由灰色宽菱形和白色窄菱形组成的平面填充。

如果你花点儿时间研究一下任何一个星形集群周围的图案组合，就会发现这种排列非常复杂。假设将它旋转1/5圈，即72度，它的排列看起来还与原来的一样吗？

如果你做了这个实验，就会发现答案是“视情况而定”。对于一些星形集群来说，答案是“不一样”，这时你可以忽略它们，选择另外一个星形集群，继续实验，直到找到“一样”的星形集群。实际上，用不了多久你就能找到。

接下来将星形集群周围的第二层也加进来重复这个过程，将其也旋转72度，也就是1/5圈，此时，这个更大的图案是否与原来的一模一样？

你会再一次发现，在一些情况下，答案是“不一样”。所以，你同样忽略这些，继续实验，直到找到一个“一样”的更罕见的星形集群。现在，将第三层也加进来，再次重复这个过程，以此类推。

随着你纳入实验的图案层级越多，排除掉的星形集群也将越多。不过你也会发现，总有一些星形集群保持着五重对称性。这一过程虽然比检验周期性平面填充的对称性所需的过程烦琐得多，但仍足以证明彭罗斯平面填充具有五重对称性。

一个更复杂的数学分析表明，从技术上来讲，彭罗斯平面填充不仅具有五重对称性，实际上还具有十重对称性。不过对于我和莱文来说，平面填充具有五重对称性还是十重对称性并没有什么区别。不管怎样，根据平面填充的数学原理和晶体学的既定定律，这两种对称性都是被严格禁阻的。

这意味着晶体学定律肯定存在错误的假设，而且200多年来都没有人发现。“肯定出现了某种漏洞。”意识到这一事实，我和莱文激动不已。我们一定要找到这个漏洞。

我们已经知道了匹配规则，这种神秘的互锁机制阻止了平面填充以任何一种周期性模式组合在一起。匹配规则意味着这些形状只能以被禁阻的五重对称模式组合在一起。

根据我们的塑料球-棒模型，我和莱文开始构建由建构模块组成的类似的三维结构，每个建构模块代表一个或多个原子。在我们的模型中，我们将彭罗斯的互锁结构替换为原子键，并将三维建构模块所代表的原子与另一个原子连接起来。这样，原子自然会被阻止凝聚成任何具有规则的周期性模式的晶体，而是被迫形成我们所寻求的具有二十面体对称性的新型物质。

我对这种思路尤为感兴趣，因为它一下子令人想起了冯内古特想象出来的冰九，水分子的新型排列方式使得这种物质比普通的晶状冰更稳定。如果我们能够找到梦寐以求的新物质，它的属性可能会非常稳定，比普通的晶体还要坚硬。但是它的匹配规则会有什么样的规律呢？

有一个线索可供参考，彭罗斯平面填充遵循一种叫作“收缩规则”的规律。也就是说，彭罗斯平面填充中的每个宽菱形和窄菱形都可以被细分成更小的碎片，从而创建另一个彭罗斯平面填充。在图2-10中，原来的填充图形用实线标明，虚线表示每个宽菱形和窄菱形的细分或收缩规则。如右图所示，由虚线分切的图形组成了一个新的彭罗斯平面填充，其中的平面填充数比原来的多了很多。

从一小组平面填充开始，反复收缩就可以产生由更多细小的填充图形组成的彭罗斯平面填充。相反的过程也是如此，即用更大的平面填充替换更小的一组，这被称为“膨胀规则”。收缩规则和膨胀规则证明彭罗斯平面填充有某种可预测的层级结构。

我和莱文都确信，五重对称性、匹配规则和收缩-膨胀规则合在一起便是一种确凿的证据，证明彭罗斯平面填充的排列是以某种新颖、深奥的方式排列的。但到底是哪种排列呢？

这个问题真是令人沮丧。如果我们能够回答这个问题，就会发现长期以来遵守的对称性规则存在漏洞，而一直以来，对称性规则决定了什么样的物质才可能存在。这一发现将是发生重大范式转变的关键，也是发现一系列前所未有的新物质的关键。

这个漏洞究竟是什么呢？我们一筹莫展。