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哥德尔
让人谦逊的“不完全性定理”
库尔特·哥德尔（Kurt Gödel，1906—1978）
随着数百年现代科学的进步，过去人们认为世界是绝对的、确定的和完全的之类的理念，被相对论、不确定性原理与不完全性定理所改变。而证明“不完全性定理[1]”的就是美籍奥地利数学家、逻辑学家哥德尔。它被列入《过去2000年最伟大的发明》一书的“思潮汹涌”部分。
哥德尔提出的定理对逻辑学与哲学均造成了相当大的冲击，其回响至今仍不绝于耳。但重要的是，这个定理终结了数学家几个世纪以来一直努力为所有数学构建一套严谨公理作为基础的理想图景，显示出数学这门学科的“不完全性”；而数学的这种性质又衔接了科学与艺术。
西方思想体系一度认为，不倦地追求和探索会让真实世界达到完全可知，宇宙图景迟早会被彻底地呈现在人类面前。但哥德尔四两拨千斤，用不完全性定理证明了其不可证实性，使我们认识到人类无法完全认识宇宙，即使在理论上也不行。这个启示还迫使人类抛弃了以控制者自居的观念，使我们谦逊地认识到永不能得到所有答案的道理，并且心悦诚服地接受世界的矛盾性与复杂性。
围绕哥德尔头像的图形显示了“逻辑空间中的哥德尔定理”，它形象地说明了，总存在像G那样的哥德尔陈述（见题画中G所代表的绿色区域）——G这类陈述也存在于算术中，我们把像G这样的陈述叫作在M中“不可判定”的陈述。因此，我们不可能消除绿色区域，把整个背景色都涂成黑色的或白色的。这个结果对每一个可能的形式系统M都成立，只要系统是一致的，即对每一个一致的形式系统M，至少存在一个陈述G，它既不能在M中被证明（如框架中的白色区域），也不能在M中被证伪（如框架中的黑色区域）。哥德尔以不完全性定理击碎了希尔伯特所抱有的对数学公理化的希望——它代表了人类智慧成就的一个高峰，为数学、哲学、计算机科学、语言学、心理学，甚至宇宙学整体的相关发展提供了基础。
有些科学家将数学称为“上帝的语言”，它至简至繁，朴素优雅，却可以用于解释宇宙的各种现象，就像爱因斯坦（哥德尔晚年与其关系很亲密）在1922年的一次演讲中所说的那样，“不借助几何数学描述物理学定律，就像不用语言描述我们的想法一样”。
人们经常用“天才”来称呼那些为人类做出杰出贡献的人物，殊不知，这些天才人物也有着可能不为人知的一面。像人物传记影片《美丽心灵》中刻画的诺贝尔经济学奖获得者纳什，就曾遭受过精神分裂症的折磨。根据《逻辑人生：哥德尔传》一书所说的，哥德尔晚年患上了精神性厌食症，最终亡于饥饿——他的挚友爱因斯坦认为哥德尔是堪与其比肩的智慧巨人。我国知名学者赵鑫珊在《天才与疯子：天才的精神构造》一书中列举了古今中外众多天才人物的创造故事，其中也包括这两位人物的故事。有的时候，思维的“异常”与奇异科学思想的诞生不无关系，不完全性定理的问世就是经典的一例。
创作感言
针对以上深奥的科学思想，我将《逻辑人生——哥德尔传》中的一幅“逻辑空间中的哥德尔定理”示意图和一幅“哥德尔的宇宙”简图融入画中，形象地呈现了特立独行的哥德尔科学思想：他的头像被说明定理的图形所框限（这暗示着有条件的完全）；下左侧哥德尔外文名与右侧哥德尔定理的非形式化是用于形象化地呈现定理；画中最下部分的哥德尔宇宙是一个不断旋转的图景，所有的物质都绕着一个对称轴匀速转动，意指哥德尔将思想的触角伸向更广阔的疆域。
[1]不完全性定理公开发表于1931年，证明了在任何数学系统内部，都必定可以做出在该系统内既不能证实、也不能证伪的命题。换言之，无论多么精确、多么有力，任何数学系统都是不完全的。他证明了任何包含整数系统的理论，它的相容性不能在自身理论体系内得到证明。换句话说，没有一种自称为数学基础的理论能够证明自身的合理性，从而必须从某一外部体系中获得合理性。哥德尔提出的这一定理给数学基础研究带来了极大的变化，其应用甚广，除了数学领域之外，还包括计算机科学、经济学、物理学等领域，在现代逻辑史上具有里程碑式的意义。