1.1 工程问题与有限元法

在某些领域的工程实际应用中，会遇到如下应用问题：

（1）作为我国国民经济建设的重要支柱产业之一，我国工程机械行业在“十三五”期间实现了快速发展，在世界工程机械产业格局中已经占据了重要地位。我国研发的4000吨级履带起重机、2000吨级全地面起重机（见图1-1）、LH3350-120动臂塔机在大化工、核电、超高层建筑和超大型桥梁施工多个重大吊装领域得到广泛应用。起重机横梁、吊臂等部件的设计是起重机作业性能和安全的保证，如何保证整机及结构件的设计具有足够的强度、刚度和稳定性？采用什么样的方法能够对其进行加强？

图1-1 超大吨位起重机

（2）近年来，中国大型基础建设及施工技术发展迅速，建成了许多结构复杂、难度极大的建筑设施，如极具特色的钢架结构体育场“鸟巢”[见图1-2（a）]和距离长且跨度大的港珠澳大桥[见图1-2（b）]等。这些大型工程对安全性要求极高。对于复杂钢架结构建筑，如何计算结构内各个位置的受力情况？极限工况下如何预测结构的薄弱位置？局部受到破坏后，整体结构是否还能保持稳定？对于桥梁结构，如何保证大跨度下的梁体稳定性？如何更精确地计算列车或汽车高速经过时桥体的振动特性？

70多年来，经过几代航天人的接续奋斗，我国航天事业创造了以“两弹一星”、载人航天、月球探测、长征运载火箭为代表的辉煌成就，走出了一条自力更生、自主创新的发展道路，积淀了深厚博大的航天精神。航空航天领域对部分设备（见图1-3）的自重有较高的要求，通常在满足结构强度的要求下，还要求结构部件的质量最小，即“轻量化”。对于已经设计好的零件，在满足强度要求后其质量能否再减轻？

图1-2 大型工程——“鸟巢”和港珠澳大桥

（3）自1949年以来，三峡水利枢纽工程、黄河小浪底水利枢纽工程、南水北调工程等一大批世界级水利水电工程相继开工并建成投入运行，成为世界水利建设史上的标杆，中国由水利大国迈向水利强国。水电站以及重要水利枢纽的闸门（见图1-4）在使用一定时间后由于腐蚀或其他原因，部分结构件因出现蚀坑而导致厚度变薄，闸门在设计水位下的强度、刚度及稳定性还能否满足使用要求？

图1-3 航天高温轴承

图1-4 弧形闸门

上述问题只是无数工程问题中微小的一部分，它们大多涉及应力、应变及位移的分析计算，可以借助弹性力学研究各种工况下弹性体内应力与应变的分布规律。但在实际工程中，一般构件的形状、受力状态、边界条件都非常复杂，除了少数的典型问题，对于大多数工程实际问题，往往无法用弹性力学的基本方程直接进行解析和求解，只能通过数值计算方法求得其近似解。

1952年，美国波音公司在研制某型号飞机时，在由Jon Tunner领导的一个项目小组分析三角形机翼强度的过程中发现，使用小的三角形拟合机翼，能够准确地计算出机翼在飞行中受到空气动力影响后的变形。Jon Tunner称这种方法为直接刚度法，该方法就是有限元法的雏形。1960年，美国的R.W.Clough教授在《平面应力分析的有限元法》一文中首次使用“有限元法”一词。此后，这一名称得到广泛的认可，简称为有限元。经过70多年的发展，有限元已扩展应用到所有工程领域，由变分法有限元扩展到加权残数法与能量平衡法有限元，由弹性力学平面问题扩展到空间问题与板壳问题，由静力平衡问题扩展到稳定性问题和动力学问题，由线性问题扩展到非线性问题；分析的对象从弹性材料扩展到塑性、黏弹性复合材料等，由结构分析扩展到结构优化，从固体力学扩展到流体力学、传热学、电磁学等领域。

有限元法的基本思想是结构离散化，将物体（如连续的求解域）离散成有限个且按一定方式相互联结在一起的单元组合，以此模拟或逼近原来的物体。该方法的实质是将一个连续的无限自由度问题简化为离散的有限自由度问题并进行求解的一种数值分析法。把物体离散后，通过对其中的各个单元进行分析，根据外载荷作用下受力平衡及变形条件进行综合求解，最终完成整个物体的分析。因此，有限元法的基本思路可以归结为“化整为零，积零为整”，把复杂的结构看成有限个单元组成的整体。结构离散化示意如图1-5所示。

图1-5 结构离散化示意