1.1.1　哥德尔定理概述

1．哥德尔定理的定义

哥德尔定理包括哥德尔完全性定理和哥德尔两个不完全性定理，它们都是哥德尔针对希尔伯特提出的四个问题所做的回答。希尔伯特所提的四个问题简略地说可以概括为：一是分析有穷主义的和谐性证明；二是集合论的和谐性证明；三是一阶数论和分析的完全性；四是一阶逻辑的完全性。哥德尔不完全性定理的注脚引了这篇假说，并在两年内从根本上回答了这四个问题。

1）哥德尔完全性定理

如果一个公式在逻辑上是有效的，那么这个公式就有一个有限的推论（形式证明）。

2）哥德尔不完全性定理

第一定理：任意一个包含一阶谓词逻辑与初等数论的形式系统都存在一个命题，它在这个系统中既不能被证明为真，也不能被证明为否。

第二定理：如果系统S含有初等数论，当S无矛盾时，它的无矛盾性不可能在S内证明。

2．哥德尔不完全性定理的巨大影响

哥德尔的第二不完全性定理是在第一不完全性定理的基础上提出的，是第一不完全性定理的推论。针对哥德尔第二不完全性定理，我们可以这样去直观描述：一个理论，如果不自相矛盾，那么这种理论的不自相矛盾的性质在该理论所在的系统中是不可以被证明的。也就是说，一个算数形式系统，以及一切不弱于算数系统的形式系统，如果是一致的，则系统的这种一致性在该系统内部都不可以被证明。因此，哥德尔第二不完全性定理的提出带来了一个核心且被认为是致命的问题：我们要如何证明命题演算系统的一致性。在科学的世界里，一切演绎都必须有一个出发点，那些作为基础的出发点理论多数是人为定义出来的，但是人为的定义却很可能不为真，甚至可能只是我们一厢情愿的臆断。这是一个严肃的问题，关系到真理是否真实存在。而且，哥德尔第二不完全性定理进一步证明，世界上永远不会有绝对的真理，我们证明的命题演算系统的一致性终究是相对的一致性，而不是绝对的一致性。因此可以说，哥德尔第二不完全性定理宣告了希尔伯特纲领的彻底破产，希尔伯特的通过有穷主义证明方法和一致性证明来保证数学合理的希望就变成了海市蜃楼。这样的结论改变了我们对科学理论和整个世界的认识。