逻辑演绎：数学的惊世绝技
符号语言武装的数学，更容易与自然科学结合，使自然科学所向披靡
符号语言带来符号逻辑的诞生
数学其实是一种逻辑，以符号表达的数学，就创造了一柄叫作“符号逻辑”的“倚天长剑”。借助于符号表达，进而演化为公式，这些公式本质上也是一种符号的表达，“符号逻辑”这柄“倚天长剑”从此横扫天下。
参数化描述之后，数学就成了符号化的逻辑语言。既然是逻辑，自然具有逻辑学的所有特性。逻辑是关于思维的学问，包含三种基本形式：概念、命题和推理。逻辑推理可以用语句表达，也可以用图形表达（图形本身就是一种全球通用语言）。
演绎推理是严格的逻辑过程，一般表现为大前提、小前提、结论的三段论模式：即从两个以上真实的判断中，可以得出新的判断。请回忆一下，数学证明题，是不是采用“因为……，所以……（∵……，∴……）”；“如果……，则……（if…，then…）”的形式。
以代数几何学为例：计算圆内的正方形面积，可以用圆周率、勾股定律、圆的面积三个公式推理，因为这三个公式都是正确的，只要符号代表的意义相同，就可以相互替代，这就是演绎。用公式的相互迭代，即符号的逻辑演绎，可以得出问题的答案，这就是推理。而这在符号化之前，是不可能做到的。
为了便于理解这个问题，我们可以认为数学实际上是逻辑推理，既可以用文字表述这种逻辑，也可以用符号表述这种逻辑。而用符号表述这种逻辑，打开了数学逻辑的天堂之门，那里有更强大的倚天长剑在召唤。这柄长剑就是所向披靡的演绎推理！
美国人R.柯朗和H.罗宾在《什么是数学——对思想和方法的基本研究》中认为，“尽管逻辑分析的思想趋势并不代表全部数学，但它却使我们对数学事实和它们相互间的依赖关系有更深刻的理解”。
英国哲学家罗素和他的老师怀特海合著的《数学原理》主要是想要说明：所有纯数学都是从纯逻辑前提推导的，并且只使用可以用逻辑术语定义的概念。
符号表达的数学逻辑
数学其实是一种逻辑，最自然的方式就是用自然语言表达这种逻辑关系，而用符号表达之后，就产生了一种新的数学语言——符号语言。以符号语言表达数学思想，使得数学变得极富表达能力，演绎推理的过程也清晰明了。由此，数学开创了“符号逻辑”。
演绎推理的主要形式是三段论，即大前提、小前提和结论。
大前提——已知的一般原理；
小前提——所研究的特殊情况；
结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断。
例如：
大前提：一切奇数都不能被2整除；
小前提：因为（2100＋1）是奇数；
等腰三角形两底角相等
结论：所以（2100＋1）不能被2整除。
例如：
命题：等腰三角形的两底角相等。
已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，
求证：∠B＝∠C。
证明：作∠A的角平分线AD，
则∠BAD＝∠CAD，
又因为AB＝AC，AD＝AD，
所以△ABD≌△ACD，
因此，∠B＝∠C。
由一个已知条件“AB＝AC”，推导出∠B＝∠C。数学中常用的证明方法如下。
同样是勾股定律，《几何原本》中的逻辑推理过程，与中国的勾股定律证明过程的思维方式完全一致，其证明过程如下：（∵代表“因为”，∴代表“所以”。如果对这段证明比较困惑，只需要浏览逻辑推理过程。不理解个中的含义，也不影响对本文的理解。）
1．命题
已知三角形ABC为直角三角形，且BC＝a，AC＝b，AB＝c，证明a2＋b2＝c2。
2．证明
（1）预热动作：以直角三角形的三边a、b、c为边作三个正方形，即三个彩色的正方形CBFG、ACHK、ABED。
（2）第一阶段推理：作辅助线CD、KB、CN（CN⊥DE、与AB相交于M）。
逻辑推理1：因为△ABK与正方形ACHK有相同的底AK，且△ABK的高等于AC
所以 SACHK＝2S△ABK
逻辑推理2：因为△ACD与矩形ADNM有相同的底AD，且△ADC的高等于AM
所以 SADNM＝2S△ACD
逻辑推理3：因为AK＝AC，AB＝BA，∠BAK＝∠CAD
所以 △ACD≌△ABK
所以 SACHK＝SADNM
第一阶段推理，就是证明这两个黄色形状面积相等（SACHK＝SADNM）。
（3）第二阶段推理：连接CE、AF。
逻辑推理1：因为△CEB与矩形NEBM有相同的底BE，且△CEB的高等于NE
所以 SNEBM＝2S△CEB
逻辑推理2：因为△ABF与正方形CBFG有相同的底BF，且△ABF的高等于BC
所以 SCBFG＝2S△ABF
逻辑推理3：因为BF＝CB，AB＝BE，∠CBE＝∠ABF
所以 △CEB≌△ABF
所以 SNEBM＝SCBFG
第二阶段推理，就是证明这两个红色形状，面积相等（SNEBM＝SCBFG）。
（4）结论阶段推理：因为SADEB＝SADNM＋SNEBM＝SACHK＋SCBFG
所以 a2＋b2＝c2
结论阶段推理，蓝色面积＝黄色面积＋红色面积（SADEB＝SADNM＋SNEBM）。
可以看出，中西方的数学思维方式一模一样，都是通过形状的构造，引出结论。唯一的不同是自然语言与符号语言的差别。基于符号语言的数学叙述，很快展现出基于逻辑的强大功能——复杂的演绎推理！
《几何原本》最引人瞩目的是它的公理体系。公理化是一种数学方法，以它们为基础，从而导出一切结果。而公理化体系在中国古代数学中也同样在运用，但是很少为人们所关注。
(1) 刘徽（约225—约295），魏晋时期伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基人之一。在中国数学史上做出了极大的贡献，其杰作《九章算术注》和《海岛算经》是中国最宝贵的数学遗产。
(2) 赵爽（182—250），东汉末至三国时期吴国人。
(3) 毕达哥拉斯（Pythagoras，约公元前580—前500），古希腊数学家、哲学家。
(4) 欧几里得（Euclid，Ευκλειδης，约公元前330—前275），古希腊数学家，被称为“几何之父”。
(5) 李善兰（1811—1882），清末浙江海宁人，数学家、天文学家、力学家、植物学家。
(6) 雷科德（Robert Recorde，约1510—1558），英国第一代数学教育家。
(7) 许凯（N. Chuquet，1445—1488），法国数学家。
(8) 塔塔利亚（Tartaglia，1500—1557），意大利数学家。
(9) 帕乔里（L. Pacioli，1445—1517），意大利数学家。
(10) 斐波那契（L. P. Fibonacci，1170—约1240），意大利数学家。
(11) 魏德曼（J. Widman，1462—1498），德国数学家。
(12) 赫克（E. Hoecka，1877—1947），荷兰数学家。
(13) 韦达（F. Viète，1540—1603），法国数学家。
(14) 哈里奥特（T. Harriot，1560—1621），英国数学家。
(15) 里斯（A. Riese，1489—1559），德国数学家。
(16) 笈多王朝（Gupta Dynasty，320—550），古代印度摩揭陀国的第一个封建王朝，统一了印度大部。印度历史自此始有明确纪年。