1.2.2　复合函数

由函数y=sinx与x=2t，通过解析式代入的方法，可以构成新的函数y=sin2t，称为函数y=sinx与x=2t的复合函数.

定义1　对函数y=f(u)与u=g(x)，若x在g(x)定义域的子集上取值时，对应u值使y能按y=f(u)取得对应值，则称新函数为y=f(u)与u=g(x)的复合函数，记为y=f[g(x)].f(u)称为外层函数，g(x)称为内层函数，u称为中间变量.中间变量为多个时，可以多层复合.

例1　 计算

解　从内到外逐层代入，求得

例2　若f(x)的定义域为[0，1]，求f(lnx)的定义域.

解　y=f(lnx)分解为y=f(u)、u=lnx，由0≤u≤1，有0≤lnx≤1，

故f(lnx)的定义域为[1，e].

例3　指出下列函数是怎样复合而成的.

①　　　 ②

解　①是由复合而成的；

②是由复合而成的.

对复合函数的分解，应按从外到内或由后向前运算的复合层次进行，分解出的每一复合层次或每一步骤，都必须是基本初等函数.实际运算时，多项式可以不用分解.