1.1 矢量代数

1.1.1 矢量的表示与和差运算

本书中在字母符号上加短横线表示矢量。矢量可以表示为

其模用A表示；是模为1的矢量，称为单位矢量，由字母符号上加“^”来表示。在一些书中，也以加粗的印刷体表示矢量，如B；或者在字母符号上加小箭头表示矢量，如。需要指出的是，手写体矢量必须在字母符号上方加短横线或小箭头。

任一矢量都可以分解为相互垂直的三个分量。例如，在直角坐标系中，如图1.1-1所示，矢量可表示为

式中，A_x、A_y、A_z就是矢量在三个相互垂直的坐标轴上的分量。该矢量的模为

而的单位矢量为

式中，α、β、γ分别是与x、y、z轴正向的夹角；cosα、cosβ、cosγ称为的方向余弦，决定了的方向。

两个矢量的和差运算（加减法）在几何上可由平行四边形法则作图得出。如图1.1-2（a）所示，矢量与矢量的和等于平行四边形的长对角线对应的矢量，即

显而易见，矢量的加法满足交换律和结合律：

矢量的减法可以借助加法实现，可以写成，因此可用平行四边形法则运算，如图1.1-2（b）所示，两个矢量相减所得矢量等于平行四边形的短对角线对应的矢量。

1.1.2 标量积与矢量积

矢量与矢量的标量积（也称点乘）表示为，其相乘结果为标量，可写成

式中，α_AB为两矢量之间的夹角，如图1.1-3所示。例如，在直角坐标系中有

可以看出，点乘满足交换律和分配律，即

矢量与矢量的矢量积（叉乘）是一个矢量，其大小等于两个矢量的模值的乘积乘以它们之间的夹角α_AB 的正弦值；其方向与、成右手螺旋关系，为、所在平面的右手螺旋的法向，如图1.1-4所示：

在直角坐标系中，利用式（1.1-11）可以将矢量积表示为

由定义式可知，不符合交换律，且有

但仍服从分配律，即

例1.1-1 证明三角形的余弦定理。

证明：如图1.1-5所示，三角形的余弦定理可以描述为

C2=A2+B2-2ABcosα

将三角形的三条边看成矢量，有

而

cosα_AB=cos（180°-α）=-cosα

因此

C2=A2+B2-2ABcosα

得证。

1.1.3 矢量的三重积

矢量的三连乘也有两种情形，其结果分别为标量和矢量。标量三重积为

在图1.1-6中，的模就是和所形成的平行四边形的面积，因此就是该平行四边形与所构成的平行六面体的体积。不难看出，和也都等于该六面体的体积，因而三者相等。

矢量三重积有下述重要关系：

由于垂直于、所组成的平面，与它的叉乘必位于该面内，因而可用沿、方向的两个分量表示。

例1.1-2 证明矢量三者共面。

证明：题中三矢量共面的充要条件为

得证。